Гипотезы Вейля

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.

Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана Бернардом Дворком в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году.

Формулировка гипотез Вейля

Пусть $X$ — неособое $n$-мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$. Его конгруэнц-дзета-функция определяется как

$Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right),$

где $N_{k}$ — число точек $X$ над $k$-мерным расширением $\mathbb {F} _{q^{k}}$ поля $\mathbb {F} _{q}$. Локальная дзета-функция $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$.

Гипотезы Вейля утверждают следующее:

1. (Рациональность) $Z(X,\;T)$ является рациональной функцией $T$. Точнее, $Z(X,\;T)$ может быть представлено в виде конечного произведения

$Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},$

где каждый $P_{i}(T)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Причем $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$, а для всех $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ над $\mathbb {C}$, а $\alpha _{ij}$ — некоторые целые алгебраические числа.

2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет соотношению

$\zeta (X,\;n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)$

или эквивалентно

$Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\;T),$

где $E$ — эйлерова характеристика $X$ (индекс самопересечения диагонали $\Delta (X)$ в $X\times X$).

3. (Гипотеза Римана) для всех $i,\;j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$. Отсюда следует, что все нули $P_{k}(q^{-s})$ лежат на «критической прямой» $\operatorname {Re} s=k/2$.

4. (Числа Бетти) Если $X$ является хорошей редукцией по модулю $p$ неособого проективного многообразия $Y$, определённым над некоторым числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$, где $\beta _{i}$ — число Бетти пространства комплексных точек $Y$.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.