Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний
Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний — утверждение комбинаторной геометрии, согласно которому между различными точками на плоскости имеется не меньше, чем различных расстояний. Гипотеза сформулирована Палом Эрдёшем в 1946 году, в 2010 году Ларри Гут и Нетс Катц (англ. Nets Hawk Katz) объявили о возможном решении этой проблемы[1], окончательное доказательство Гута и Каца было завершено в 2015 году.
Гипотеза
правитьПусть минимальное число различных расстояний между точками на плоскости. В 1946 году Эрдёш доказал оценки для некоторой константы . Нижняя оценка получена простым доказательством, верхняя оценка получена на базе квадратной решётки и того, что число целых меньше равных сумме двух квадратов равно согласно результату Ландау — Рамануджана. Эрдёш предположил, что верхняя граница ближе к истинной величине и верно для любого .
Результаты
правитьНижняя граница Эрдёша g(n) = Ω(n1/2) последовательно улучшалась:
- g(n) = Ω(n2/3) — Лео Мозер (англ. Leo Moser), 1952;
- g(n) = Ω(n5/7) — Фан Чун (англ. Fan Chung), 1984;
- g(n) = Ω(n4/5/log n) — Фан Чун, Эндре Семереди, Уильям Троттер, 1992;
- g(n) = Ω(n4/5) — Ласло Секей, 1993;
- g(n) = Ω(n6/7) — Йожеф Шоймоши, Чаба Тот, 2001;
- g(n) = Ω(n(4e/(5e − 1)) − e) — Габор Тардош (англ. Gábor Tardos), 2003;
- g(n) = Ω(n((48 − 14e)/(55 − 16e)) − e) — Нетс Кац, Габор Тардош, 2004;
- g(n) = Ω(n/log n) — Ларри Гут, Нетс Кац, 2015.
Другие размерности
правитьЭрдёш рассмотрел также проблему для более высоких размерностей пространства. Пусть минимальное число различных расстояний для точек в евклидовом пространстве размерности . Он доказал, что gd(n) = Ω(n1/d) и gd(n) = O(n2/d) и предположил, что верхняя граница является близкой, то есть gd(n) = Θ(n2/d). В 2008 году Шоймоши и Ван Ву (англ. Van Vu)) получили нижнюю оценку gd(n) = O(n2/d(1-1/(d+2))).
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Guth, l.; Katz, N. H. (2010). "On the Erdős distinct distance problem on the plane". arXiv:1011.4105.. См. также Граница Гута-Каца для проблемы Эрдёша о расстояниях Архивная копия от 25 апреля 2013 на Wayback Machine и Решение Гута-Каца проблемы Эрдёша о различных расстояниях Архивная копия от 9 мая 2013 на Wayback Machine.
Литература
править- Chung, F. (1984), "The number of different distances determined by n points in the plane" (PDF), Journal of Combinatorial Theory, (A), 36: 342—354, doi:10.1016/0097-3165(84)90041-4
{{citation}}
: templatestyles stripmarker в|title=
на позиции 49 (справка) Архивная копия от 3 марта 2012 на Wayback Machine. - Chung, F.; Szemerédi, E.; Trotter, W. T. (1984), "The number of different distances determined by a set of points in the Euclidean plane" (PDF), Discrete and Computational Geometry, 7: 342—354, doi:10.1007/BF02187820 Архивная копия от 3 марта 2012 на Wayback Machine
- Erdős, P. (1946), "On sets of distances of n points" (PDF), American Mathematical Monthly, 53: 248—250
{{citation}}
: templatestyles stripmarker в|title=
на позиции 25 (справка) Архивная копия от 5 марта 2012 на Wayback Machine - Garibaldi, J.; Iosevich, A.; Senger, S. (2011), The Erdős Distance Problem, Providence, RI: American Mathematical Society
- Guth, L.; Katz, N. H. (2010). "On the Erdős distinct distance problem on the plane". arXiv:1011.4105.
- Moser, L. (1952), "On the different distances determined by n points", American Mathematical Monthly, 59: 85—91
{{citation}}
: templatestyles stripmarker в|title=
на позиции 42 (справка). - Solymosi, J.; Tóth, Cs. D. (2001), "Distinct Distances in the Plane", Discrete and Computational Geometry, 25: 629—634.
- Solymosi, J.; Vu, Van H. (2008), "Near optimal bounds for the Erdős distinct distances problem in high dimensions", Combinatorica, 28: 113—125.
- Székely, L. (1993), "Crossing numbers and hard Erdös problems in discrete geometry", Combinatorics, Probability and Computing, 11: 1—10.
- Tardos, G. (2003), "On distinct sums and distinct distances", Advances in Mathematics, 180: 275—289.
Ссылки
править- William Gasarch. A Webpage on The Erdos Distance Problem
- János Pach: Guth and Katz’s Solution of Erdős’s Distinct Distances Problem Архивная копия от 9 мая 2013 на Wayback Machine (в блоге Гиля Калая[англ.])
- Подробное доказательство Гута — Каца Архивная копия от 25 апреля 2013 на Wayback Machine в блоге Теренса Тао