Гиперцикл (геометрия)

Гиперокружность, гиперцикл или эквидистанта^[1] — это кривая, точки которой имеют постоянное ортогональное расстояние до прямой (которая называется осью гиперокружности).

Если задана прямая L и точка P, не лежащая на L, можно построить гиперцикл, взяв все точки Q, лежащие на той же стороне от L, что и P, и на том же расстоянии от L, что и P.

Прямая L называется осью, центром или базовой прямой гиперцикла.

Прямые, перпендикулярные оси, которые перпендикулярны и гиперциклу, называются нормалями гиперцикла.

Отрезки нормали между осью и гиперциклом называются радиусами.

Общая длина этих отрезков называется расстоянием или радиусом гиперцикла^[2].

Гиперциклы через заданную точку, имеющие одну и ту же касательную в этой точке, сходятся к орициклу по мере стремления расстояния к бесконечности.

Свойства, подобные свойствам евклидовых прямых

Гиперциклы в геометрии Лобачевского имеют некоторые свойства, похожие на свойства прямых в евклидовой геометрии:

На плоскости, если задана прямая и точка вне неё, существует только один гиперцикл для данной прямой, содержащий эту точку (сравните с аксиомой Плейфера для евклидовой геометрии).
Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.
Гиперцикл симметричен любой прямой, перпендикулярной ему (отражение гиперцикла относительно прямой, перпендикулярной гиперциклу, даёт тот же самый гиперцикл.)

Свойства, подобные свойствам евклидовых окружностей

Гиперциклы в геометрии Лобачевского имеют некоторые свойства, похожие на свойства окружности в евклидовой геометрии:

Прямая, перпендикулярная хорде гиперцикла в её середине, является радиусом и делит стягиваемую дугу пополам.
Пусть AB — хорда и M — её середина.

Ввиду симметрии, прямая R через M, перпендикулярная хорде AB, должна быть ортогональна оси L.

Таким образом, R является радиусом.

Также ввиду симметрии, R делит дугу AB пополам.
Ось и расстояние гиперцикла определены однозначно.
Предположим, что гиперцикл C имеет две различные оси $L_{1}$ и $L_{2}$ .

Используя предыдущее свойство дважды с различными хордами, мы можем определить два различных радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$ . $R_{1}$ и $R_{2}$ будут тогда перпендикулярны как $L_{1}$ , так и $L_{2}$ , что даёт прямоугольник. Получили противоречие, поскольку прямоугольник невозможен в геометрии Лобачевского.
Гиперциклы имеют одинаковые расстояния тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.
Если они имеют одинаковые расстояния, нам нужно привести оси к совпадению путём жёсткого движения^[англ.]^[3], а тогда все радиусы совпадут. Поскольку радиус тот же самый, точки двух гиперциклов совместятся.

Наоборот, если они конгруэнтны, расстояние должно быть тем же самым согласно предыдущему свойству.
Прямые пересекают гиперцикл не более чем в двух точках.
Пусть прямая K пересекает гиперцикл C в двух точках A и B. Как и ранее, мы можем построить радиус R гиперцикла C через среднюю точку M хорды AB. Заметим, что прямая K ультрапараллельна оси L, поскольку имеют общий перпендикуляр R. Также, две ультрапараллельные прямые имеют минимальное расстояние на общем перпендикуляре и расстояние монотонно увеличивается по мере отклонения от перпендикуляра.

Это означает, что точки K внутри AB будут находиться на расстоянии от L меньшем, чем расстоянии от A и B до L, в то время как точки K вне отрезка AB будут иметь большее расстояние. В заключение, никаких других точек K нет на C.
Два гиперцикла пересекаются максимум в двух точках.
Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ будут гиперциклами, пересекающимися в точках A, B и C.

Если $R_{1}$ — прямая, ортогональная AB и проходящая через среднюю точку, мы знаем, что это радиус как для $C_{1}$ , так и для $C_{2}$ .

Аналогично мы строим радиус $R_{2}$ через среднюю точку отрезка BC.

$R_{1}$ и $R_{2}$ одновременно ортогональны осям $L_{1}$ и $L_{2}$ гиперциклов $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно.

Мы уже доказали, что в этом случае $L_{1}$ и $L_{2}$ должны совпадать (иначе мы получим прямоугольник).

Тогда $C_{1}$ и $C_{2}$ имеют те же оси и по меньшей мере одну общую точку, а потому они имеют то же самое расстояние и тоже совпадают.
Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.
Если точки A, B и C гиперцикла лежат на одной прямой, то хорды AB и BC принадлежат одной и той же прямой K. Пусть $R_{1}$ и $R_{2}$ являются радиусами, проходящими через средние точки хорд AB и BC. Мы знаем, что ось L гиперцикла перпендикулярна как $R_{1}$ , так и $R_{2}$ .

Но K также перпендикулярна им. Тогда расстояние должно равняться 0, и гиперцикл вырождается в прямую.

Другие свойства

Длина дуги гиперцикла между двумя точками
- больше длины отрезка между этими двумя точками,
- меньше длины дуги одного из двух орициклов между этими двумя точками
- меньше длины любой дуги окружности между этими двумя точками.
Гиперцикл и орицикл пересекаются максимум в двух точках.

Длина дуги

На плоскости Лобачевского с постоянной кривизной $-1$ длину дуги гиперцикла можно вычислить из радиуса $r$ и расстояния $d$ между точками, в которых нормали пересекают ось, с помощью формулы:

l=d\cdot \mathrm {ch} \,r

^[4]

Построение

В дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представляются прямыми и дугами окружности, пересекающими граничную окружность не под прямыми углами. Представление оси гиперцикла пересекает граничную окружность в тех же точках, но под прямыми углами.

В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представляются прямыми и дугами окружности, пересекающими граничную прямую не под прямыми углами. Представление оси гиперцикла пересекает граничную прямую в тех же точках, но под прямыми углами.

Примечания

↑ В книге Смогоржевского используется термин эквидистанта, хотя, вообще говоря, эквидистанта — это более широкое понятие. Здесь нужно говорить об эквидистанте прямой на гиперболической плоскости.
↑ Martin, 1986.
↑ То есть перемещение фигуры как твёрдого тела.
↑ Смогоржевский, 1982, с. 66.

Литература

Тричетырёхугольная мозаика^[англ.] на конформно-евклидовой модели имеет последовательности вершин, лежащих на гиперциклах.

Martin Gardner. Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics // Non-Euclidean Geometry. — W. W. Norton & Company, 2001. — ISBN 978-0-393-02023-6.
Greenberg M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 3rd edition. — Freeman W. H., 1994.
David C. Royster. Neutral and Non-Euclidean Geometries.
Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. — Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1982. — Т. 23. — (Популярные лекции по математике).
George E. Martin. The foundations of geometry and the non-euclidean plane. — 1., corr. Springer. — New York: Springer-Verlag, 1986. — С. 371. — ISBN 3-540-90694-0.

[1] В книге Смогоржевского используется термин эквидистанта, хотя, вообще говоря, эквидистанта — это более широкое понятие. Здесь нужно говорить об эквидистанте прямой на гиперболической плоскости.

[_814f10fd94b11f72-2] Martin, 1986.

[3] То есть перемещение фигуры как твёрдого тела.

[_28d1d5d73b1b459e-4] Смогоржевский, 1982, с. 66.

[1]

[2]

[3]

[4]