Геометрический фактор

Геометрический фактор (также этендю, от фр. étendue géométrique) — физическая величина, характеризующая то, насколько свет в оптической системе "расширен" по размерам и направлениям. Эта величина соответствует параметру качества пучка^[англ.] (BPP) в физике Гауссовых пучков.

С точки зрения источника, это произведение площади поверхности источника и телесного угла, который стягивается входным зрачком оптической системы-приёмника при наблюдении с источника. Эквивалентно, с точки зрения оптической системы, геометрический фактор равен произведению площади входного зрачка и телесного угла, стягиваемого источником при наблюдении со зрачка. Эти определения должны применяться к бесконечно малым элементам площади и телесного угла, которые затем должны суммироваться по источнику и диафрагме как показано ниже. Геометрический фактор может рассматриваться как объём в фазовом пространстве.

Геометрический фактор является важной характеристикой света, поскольку эта величина никогда не уменьшается в любой оптической системе, где сохраняется оптическая мощность. Идеальная оптическая система создаёт изображение с тем же значением геометрического фактора, как и у источника. Геометрический фактор связан с инвариантом Лагранжа^[англ.] и оптическим инвариантом, которые тоже постоянны в идеальной оптической системе. Энергетическая яркость оптической системы равна производной потока излучения по геометрическому фактору.

Определение

Геометрический фактор для дифференциального элемента поверхности в 2D (слева) и 3D (справа).

Пусть элемент поверхности dS с нормалью n_S погружён в среду с показателем преломления n. На поверхность падает (или она излучает) свет из телесного угла dΩ под углом θ к нормали n_S. Проекция площади dS в направлении распространения света равна dS cos θ. Геометрический фактор G света, проходящего через dS определяется как

\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega .

Так как углы, телесные углы и показатели преломления — безразмерные величины, геометрический фактор имеет размерность площади (вследствие члена dS).

Сохранение геометрического фактора

Как показано ниже, геометрический фактор сохраняется при распространении света в свободном пространстве, а также при преломлениях и отражениях. Он также сохраняется при прохождении света через оптические системы, где свет претерпевает идеальные преломления или отражения. Однако, если свет попадёт на рассеивающую поверхность, телесный угол его расходимости увеличится, увеличивая геометрический фактор. Геометрический фактор может оставаться постоянным или возрастать при прохождении света через оптическую систему, но он не может уменьшиться. Это прямое следствие возрастания энтропии, которое может быть обращено только если используется априорная информация для обращения волнового фронта — например, с помощью фазосопряжённых зеркал^[англ.].

Закон сохранение геометрического фактора может быть выведен в разных контекстах — из первых принципов оптики, из гамильтоновой оптики^[англ.] или из второго начала термодинамики.^[1]

В свободном пространстве

Etendue in free space.

Рассмотрим источник света Σ и детектор S, оба протяжённые (а не дифференциальные элементы), разделённые идеально прозрачной средой с показателем преломления n (см. рисунок). Для вычисления геометрического фактора системы следует рассмотреть вклад каждой точки на поверхности источника света, испускающей лучи на каждую точку поверхности приёмника.^[2]

В соответствии с приведённым выше определением, геометрический фактор света, пересекающего dΣ в направлении dS, даётся выражением:

\mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}

где dΩ_Σ — телесный угол, стягиваемый площадью dS по отношению к поверхности dΣ. Аналогично, геометрический фактор света, пересекающего dS, исходящего из dΣ даётся выражением:

\mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}},

где dΩ_S — телесный угол, стягиваемый dΣ. Из этих выражений следует, что

\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S},

что означает, что геометрический фактор сохраняется при распространении света в свободном пространстве.

Геометрический фактор всей системы тогда равен

G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G.

Если обе поверхности dΣ и dS погружены в воздух (или вакуум), то n = 1, и выражение для геометрического фактора может быть записано как

\mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S},

где F_dΣ→dS — коэффициент видимости излучения^[англ.] между элементами поверхностей dΣ и dS. Интегрирование по dΣ и dS даёт G = πΣ F_Σ→S , что позволяет получить геометрический фактор из коэффициентов видимости между этими поверхностями, которые, например, приведены в списке факторов видимости для определённых геометрий или в некоторых книгах по теплопередаче.

Сохранение геометрического фактора в свободном пространстве связано с теоремой взаимности для факторов видимости^[англ.].

При преломлениях и отражениях

Геометрический фактор при преломлении.

Выше показано, что геометрический фактор сохраняется в случае распространения света в свободном пространстве или, в более общем случае, в среде с постоянным показателем преломления. Однако, геометрический фактор также сохраняется при преломлениях и отражениях.^[1] На рисунке справа показан элемент поверхности dS в плоскости xy, разделяющей две среды с показателями преломления n_Σ и n_S.

Нормаль к dS сонаправлена с осью z. Падающий свет ограничен телесным углом dΩ_Σ и достигает dS под углом θ_Σ к нормали. Преломлённый свет ограничен телесным углом dΩ_S и исходит из dS под углом θ_S к нормали. Направления падающего и преломлённого света содержатся в плоскости, находящейся под углом φ к оси x, определяющим эти направления в сферической системе координат. С этими обозначениями закон Снеллиуса можно написать как

n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S},

а, дифференцируя по θ, получим

n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S}.

Умножим эти выражения друг на друга и на множитель dφ, не меняющийся при преломлении, и получим

n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right).

Это выражение можно записать как

n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S},

а, умножив обе части уравнения на dS, получим

n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S},

т.е.

\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}.

Т.о., геометрический фактор света, преломлённого на dS, сохраняется. Такой же результат справедлив для случая отражения от поверхности dS, где следует положить n_Σ = n_S и θ_Σ = θ_S.

Сохранение приведённой энергетической яркости

Энергетическая яркость поверхности связана с геометрическим фактором выражением

L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}},

где

n — показатель преломления среды, в которую погружена поверхность;
G — геометрический фактор пучка света.

При распространении света через идеальную оптическую систему сохраняются геометрический фактор и поток излучения. Поэтому приведённая энергетическая яркость, определённая как^[3]

L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}},

также сохраняется. В реальных системах геометрический фактор может увеличиться (например, из-за рассеяния), или может уменьшиться поток излучения (например, из-за поглощения), и поэтому приведённая энергетическая яркость может уменьшиться. Однако, геометрический фактор не может уменьшаться, а поток излучения не может возрастать, поэтому приведённая энергетическая яркость тоже не может возрастать.

Геометрический фактор как объём в фазовом пространстве

Оптический импульс.

В контексте гамильтоновой оптики^[англ.], в заданной точке пространства луч света может быть полностью описан точкой r = (x, y, z), единичным вектором v = (cos α_X, cos α_Y, cos α_Z), указывающим направление луча, и показателем преломления n в точке r. Оптический импульс^[англ.] луча в этой точке определяется выражением:

\mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r),

где $\|\mathbf {p} \|=n$ . Геометрия вектора оптического импульса показана на рисунке справа.

В сферической системе координат p может быть записан как

\mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right),

откуда

\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega ,

и поэтому для элемента площади dS = dx dy на плоскости xy, погружённой в среду с показателем преломления n, геометрический фактор определяется как

\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q,

что является элементом объёма в фазовом пространстве x, y, p, q. Сохранение геометрического фактора в фазовом пространстве в оптике эквивалентно теореме Лиувилля в классической механике.^[1] Геометрический фактор как объём в фазовом пространстве часто используется в неизображающей оптике^[англ.].

Максимальный коэффициент концентрации

Etendue for a large solid angle.

Рассмотрим элемент поверхности dS, погружённый в среду с показателем преломления n, на который падает (или который излучает) свет, ограниченный конусом с углом раствора α. Геометрический фактор этого света даётся формулой

\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}dS\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha .

Замечая, что n sin α — числовая апертура NA пучка света, можно переписать это выражение так:

\mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}.

Обратим внимание, что dΩ выражена в сферической системе координат. Теперь, если на протяжённую поверхность S падает (или она излучает) свет, также ограниченный конусом с углом раствора α, то геометрический фактор света, проходящего через S, будет

G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}.

Геометрический фактор и идеальная концентрация.

Предел максимального значения коэффициента концентрации (см. рисунок) достигается прибором со входным зрачком S, в воздухе (n_i = 1) собирающим свет из телесного угла 2α (его угол приёма^[англ.]) и направляющим его на поверхность Σ, находящуюся в среде с показателем преломления n, при этом точки поверхности-приёмника освещены светом, исходящим из телесного угла 2β. Из выражения, данного выше, геометрический фактор падающего света равен

G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha ,

а для света, достигающего поверхности-приёмника

G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta .

Тогда из сохранения геометрического фактора G_i = G_r следует, что

C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }},

где C — коэффициент концентрации оптического прибора. Для заданной угловой апертуры α падающего излучения коэффициент концентрации будет максимальным для максимального значения sin β, т.е. β = π/2. Тогда максимальный возможный коэффициент концентрации равен^[1]^[4]

C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}.

В случае, когда показатель преломления падающего света не равен единице, имеем

G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta ,

откуда

C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2},

а в пределе β = π/2, получается

C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}.

Если оптический прибор является коллиматором, а не концентратором, то направление света инвертируется, и сохранение геометрического фактора даёт минимальное значение апертуры S для заданного угла расходимости 2α выходного излучения.

См. также

Литература

↑ ¹ ² ³ ⁴ Chaves, Julio. Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition (англ.). — CRC Press, 2015. — ISBN 978-1482206739. Архивировано 26 ноября 2023 года.
↑ Wikilivre de Photographie, Notion d'étendue géométrique (на французском языке). Accessed 27 Jan 2009.
↑ William Ross McCluney, Introduction to Radiometry and Photometry, Artech House, Boston, MA, 1994 ISBN 978-0890066782
↑ Roland Winston et al.,, Nonimaging Optics, Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515

Дополнительная литература

Greivenkamp, John E. Field Guide to Geometrical Optics (неопр.). — SPIE, 2004. — ISBN 0-8194-5294-7.
Xutao Sun et al., 2006, "Etendue analysis and measurement of light source with elliptical reflector", Displays (27), 56–61.

[IntroNio2e-1] ¹ ² ³ ⁴ Chaves, Julio. Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition (англ.). — CRC Press, 2015. — ISBN 978-1482206739. Архивировано 26 ноября 2023 года.

[Wikilivre-2] Wikilivre de Photographie, Notion d'étendue géométrique (на французском языке). Accessed 27 Jan 2009.

[3] William Ross McCluney, Introduction to Radiometry and Photometry, Artech House, Boston, MA, 1994 ISBN 978-0890066782

[NIO-4] Roland Winston et al.,, Nonimaging Optics, Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515

[1]

[2]

[3]

[4]