Гекзакисикосаэдр

Гекзакисикоса́эдр (от др.-греч. ἑξάκις — «шестижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакистриаконта́эдром (от др.-греч. δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», τριάκοντα — «тридцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому икосододекаэдру.

Гекзакисикосаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	120 граней 180 рёбер 62 вершины Χ = 2
Грани	разносторонние треугольники:
Конфигурация вершины	30(34) 20(36) 12(310)
Конфигурация грани	V4.6.10
Двойственный многогранник	ромбоусечённый икосододекаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	mD, dbD
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами $\arccos \,{\frac {9+5{\sqrt {5}}}{24}}\approx 32{,}77^{\circ },$ $\arccos \,{\frac {15-2{\sqrt {5}}}{20}}\approx 58{,}24^{\circ }$ и $\arccos \,{\frac {5-2{\sqrt {5}}}{30}}\approx 88{,}99^{\circ }.$

Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромботриаконтаэдра), 60 «средних» и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-{\frac {179+24{\sqrt {5}}}{241}}\right)\approx 164{,}89^{\circ }.$

Гекзакисикосаэдр можно получить из ромботриаконтаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в $2{\sqrt {17+{\frac {31{\sqrt {5}}}{5}}}}\approx 11{,}11$ раз меньше стороны основания.

Гекзакисикосаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисикосаэдра имеют длину $a$, то его «средние» рёбра имеют длину ${\frac {3}{10}}(3+{\sqrt {5}})a\approx 1{,}57a,$ а «длинные» рёбра — длину ${\frac {1}{5}}(7+{\sqrt {5}})a\approx 1{,}85a.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S={\frac {3}{5}}{\sqrt {10\left(1257+541{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 94{,}2346327a^{2},$

$V={\frac {1}{5}}{\sqrt {6\left(14765+6602{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{3}\approx 84{,}1819754a^{3}.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r={\sqrt {{\frac {3}{4820}}\left(5795+2569{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 2{,}6799693a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho ={\frac {1}{20}}\left(25+13{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}7034442a.$

Описать около гекзакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гекзакисикосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.