Край многообразия

Обзорная статья: Многообразие

Край многообра́зия $\partial M^{n}$ — множество всех точек $n$-мерного многообразия $M^{n}$, которые не имеют окрестности, гомеоморфной $n$-мерному евклидову пространству $\mathbb {R} ^{n}$.

Многообразие с краем

Более формально, край многообразия $\partial M^{n}$ — подмножество замыкания ${\overline {M^{n}}}$ вещественного $n$-мерного многообразия $M^{n}$ (возможно, открытого) такое, что некоторая окрестность каждой точки этого подмножества гомеоморфна некоторой области $W^{n}$ некоторого замкнутого полупространства $\mathbb {R} _{+}^{n}$ вещественного $n$-мерного пространства $\mathbb {R} ^{n}$, причём эта область $W^{n}$ открыта в полупространстве $\mathbb {R} _{+}^{n}$, но не во всём пространстве $\mathbb {R} ^{n}$.

Краевая точка области $W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}$ — точка пересечения ${\overline {W^{n}}}$ с границей полупространства $\mathbb {R} _{+}^{n}$.

Краевая точка многообразия $M^{n}$ — точка $a\in {\overline {M^{n}}}$, которая соответствует краевой точке области $W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}$. Другими словами, точка $n$-мерного многообразия $M^{n}$, которая не имеет окрестности, гомеоморфной $n$-мерному евклидову пространству $\mathbb {R} ^{n}$.

Внутренняя точка многообразия — точка $n$-мерного многообразия $M^{n}$, которая имеет окрестность, гомеоморфную $n$-мерному евклидову пространству $\mathbb {R} ^{n}$.

Внутренность, или внутренняя часть, многообра́зия $\operatorname {int} M^{n}$ — множество всех внутренних точек $n$-мерного многообразия $M^{n}$.

Многообразие с краем — многообразие, имеющее хотя бы одну краевую точку.

Простейший пример $n$-мерного многообразия с краем $\mathbb {R} ^{n-1}$ — полупространство $\mathbb {R} _{+}^{n}$.

На рисунке справа вверху показано некоторое подковообразное двумерное многообразие $M^{2}$ с одномерным краем $\partial M^{2}$, который состоит из двух окружностей $S^{1}$, операцией взятия края $\partial \colon M^{2}\to \partial M^{2}$ и тремя гомеоморфизмами:

• $\varphi _{1}$ окрестности внутренней точки многообразия $M^{2}$ на внутренность круга $U_{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$;
• $\varphi _{2}$ окрестности краевой точки многообразия $M^{2}$ на внутренность полукруга с диаметром $U_{2}\subset \mathbb {R} _{+}^{2}\equiv \mathbb {H} ^{2}$;
• $\varphi _{3}$ окрестности точки многообразия $\partial M^{2}$ на отрытый интервал $U_{3}\subset \mathbb {R} ^{1}$.

Замкнутое многообразие — компактное многообразие без края.

Предложение 1. Замкнутое множество всех краевых точек $\partial M^{n}$ вещественного $n$-мерного многообразия $M^{n}$ есть $(n-1)$-мерное многообразие без края, а разность множеств $M^{n}\setminus \partial M^{n}=\operatorname {int} M^{n}$, которое есть всюду плотное открытое множество, — $n$-мерное многообразие без края.

• Примеры многообразий с краем
• 
  Диск
• 
  кольцо, или лента
• 
  Лист Мёбиуса
• 
  Половина Тора

• Примеры замкнутых многообразий
• 
  Сфера
• 
  Тор
• 
  Бутылка Клейна
• 
  Римская поверхность

Источники

• Борисович, Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: ЛЕНАНД, 2015. 441 с., ил. (Классический учебник МГУ.)
• Войцеховский М. И. Край // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 87.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: «Наука», 1977. 487 с., ил.