Борновское приближение

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы $m\$ на потенциале $V\$ действующем на расстоянии $a\$, приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний $E_{0}\$, т.е. $V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\$. Если же $V\$ не мало по сравнению с $E_{0}\$, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда $V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\$, где $\lambda \$ есть дебройлевская длина волны частицы.

Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла $d\Omega$) частицы с изменением импульса $\hbar {\vec {q}}\$ в борновском приближении получается:

$d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,$

где $\mu$ — приведённая масса.

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

$w_{p'p}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{p'p}\right|^{2}\delta (E_{p'}-E_{p})d\nu _{p'}$,

где $\nu _{p'}\$ есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы $E_{p}=p^{2}/(2m)\$ , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн $\psi _{\vec {p}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }\$ и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния $p'\$, мы немедленно приходим к формуле Борна.

Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:

$f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r.$

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом $\hbar {\sqrt {l(l+1)}}$, имеют вид:

$\delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{l+{\frac {1}{2}}}(qr))^{2}rdr,$

где $J_{l+{\frac {1}{2}}}(qr)$ — функция Бесселя.

Литература

• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.