Серединный треугольник

Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Свойства

Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника $\triangle ABC$ при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник $\triangle ABC$ . Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника $\triangle ABC$ и что его площадь равна четверти площади треугольника $\triangle ABC$ . Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника^[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).

Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника $\triangle ABC$ , этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника^[2].

Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)^[3].

Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике^[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса^[англ.] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника^[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника^[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника $\triangle ABC$ , является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.

Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.^[7]

Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).^[8]

Координаты

Пусть $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ — длины сторон треугольника $\triangle ABC$ . Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:

$X=0:1/b:1/c$
$Y=1/a:0:1/c$
$Z=1/a:1/b:0$

Антисерединный треугольник

Если $\triangle XYZ$ — серединный треугольник для $\triangle ABC$ , то $\triangle ABC$ является антисерединным треугольником (антидополнительным) для $\triangle XYZ$ . Антикомплементарный треугольник для $\triangle ABC$ образуется тремя прямыми, параллельными сторонам $\triangle ABC$ — параллельно $AB$ через точку $C$ , параллельно $AC$ через точку $B$ и параллельно $BC$ через точку $A$ .

Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника $\triangle X'Y'Z'$ задаются формулами:

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Примечания

↑ Posamentier, Lehmann, 2012, с. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007, с. 161, Теорема 337.
↑ Altshiller-Court, 2007, с. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011, с. 233, Лемма 1.
↑ Chakerian, 1979, с. 139, Глава 7.
↑ Torrejon, 2005, с. 137.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine

Литература

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America,, 1979.
Ricardo M. Torrejon. On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вып. 5.
Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Medial triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_92c10871834e6aef-1] Posamentier, Lehmann, 2012, с. 177.

[_9274b66e5a0ac922-2] Altshiller-Court, 2007, с. 161, Теорема 337.

[_84cbade80e644ff3-3] Altshiller-Court, 2007, с. 103,#206;108,#1.

[_4032ceab8e680379-4] Franzsen, 2011, с. 233, Лемма 1.

[_78a447c4ddfef90f-5] Chakerian, 1979, с. 139, Глава 7.

[_3af56291c64de690-6] Torrejon, 2005, с. 137.

[7] College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.

[8] Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]