Анализ функций многих переменных

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы $y=x^{2}$ , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет пределом число A при стремлении переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , соответственно, к $a_{1},\ldots ,a_{n}$ , если для каждого числа $\varepsilon >0$ найдется такое число $\delta >0$ , что $|f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon$ , то есть $|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta$ .

Функция $u=f(M)$ называется непрерывной в точке $A$ , если предельное значение этой функции в точке $A$ существует и равно частному значению $f(A)$ .

Функция $u=f(M)$ называется непрерывной на множестве ${M}$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O, $x_{k}$ ,f), где О — точка пересечения координатных осей; $x_{k}$ — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}$ , что есть её дифференцирование по одному из аргументов:

${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}~...~x_{k}+\Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\Delta x_{k}}},$

где $x_{k}$ — определенный аргумент; а символ $\partial$ является видоизмененной записью $d_{x}$ и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла ( $\nabla$ ) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Интеграл $\underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}$ называется кратным интегралом, если $n>1$ . В случае $n=2$ он называется двойным, в случае $n=3$ — тройным интегралом, а в случае произвольного $n\in N$ — n-кратным. Его обозначают также $\int \limits _{X}f(x)dx$ . При такой записи под символом $x$ следует понимать точку $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ пространства $E^{n}$ , под символом $dx$ — произведение $dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$ , а под знаком $\int \limits _{D}$ — n-кратный интеграл по n-мерной области $D$ .

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

	Область	Применимые методы
Кривые	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	Длины кривых, Криволинейные интегралы, и кривизна.
Поверхности	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям.
Векторные поля	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Любая из операций векторного анализа, включая градиент, дивергенцию, и ротор.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также

Литература

Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Ссылки