Квантовое состояние

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано:

В волновой механике — волновой функцией,
В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Эти описания математически равнозначны. В общем случае квантовое состояние (смешанное) принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности, являющейся неотрицательным самосопряжённым оператором с единичным следом. Квантовые состояния можно интерпретировать как статистические ансамбли с некоторыми фиксированными квантовыми числами.

Распределение плотности вероятности для электрона в атоме водорода, находящемся в различных состояниях.

Векторы состояний

Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства ${\mathcal {H}}$ , позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой.

Для описания квантового состояния в этом случае вводится так называемый вектор состояния (амплитуда состояния), представляющий собой множество математических величин, которое полностью описывает квантовую систему. К примеру, множество 4 чисел { $n\$ , $\ell \$ , $m_{\ell }\$ , $m_{s}$ } определяет состояние электрона в атоме водорода, и называются квантовыми числами электрона.

Подобная конструкция оказывается возможной благодаря принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявляется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p₁, p₂, …, а во втором — q₁, q₂,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией, в котором эта величина может принимать любое из значений p₁, p₂, …, q₁, q₂,…. Количественное описание этого явления приведено ниже.

Обозначения бра-кет

Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию $\psi$ , как $\left|\psi \right\rangle$ . Сопряжённый вектор, соответствующий состоянию $\psi$ , будем обозначать как $\left\langle \psi \right|$ . Скалярное произведение векторов $\left|\psi \right\rangle$ и $\left|\phi \right\rangle$ будем обозначать как $\left\langle \phi |\psi \right\rangle$ , а образ вектора $\left|\psi \right\rangle$ под действием оператора ${\mathcal {F}}$ будем обозначать ${\mathcal {F}}\left|\psi \right\rangle$ . Символ $\left\langle \psi \right|$ называется бра (англ. bra), а символ $\psi$ , как $\left|\psi \right\rangle$ — кет (англ. ket). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.

Математический формализм

Всякий ненулевой вектор из пространства ${\mathcal {H}}$ соответствует некому чистому состоянию. Однако векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число, отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния $|\psi \rangle$ обязан быть «нормирован на единицу»: $\langle \psi |\psi \rangle =1$ — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму ${\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle }}$ .

Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана.

При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

«Количество состояний»

Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства ${\mathcal {H}}$ . Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения; к тому же при тензорном произведении (то есть построении составной системы) размерности пространств перемножаются.

В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть решения уравнения Шрёдингера) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана, отвечающие различным уровням энергии. В случае конечномерного пространства ${\mathcal {H}}$ и при отсутствии вырождения число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.

Чистое состояние

Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней. Только чистые состояния полностью можно описать волновыми функциями.

См. также

Литература

Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c. Глава IV.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. — Imperial College Press, 1995.
Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006.