Алгоритм Харви — ван дер Хувена

Алгоритм Харви — ван дер Хувена — алгоритм умножения двух $n$-битных целых чисел с временной сложностью $O(n\log n)$ в модели многоленточной машины Тьюринга. Предложен математиками Дэвидом Харви из университета Нового Южного Уэльса и Йорисом ван дер Хувеном из Национального центра научных исследований Франции. По состоянию на 2023 год является самым быстрым известным алгоритмом умножения чисел в данной модели, при этом оценка в $O(n\log n)$ на временную сложность алгоритмов умножения, по всей видимости, является неулучшаемой.

История

Вопрос о существовании быстрых алгоритмов умножения целых чисел занимает важное место в теории сложности вычислений. Наиболее известные методы умножения, такие как умножение «в столбик» требуют $O(n^{2})$ арифметических операций. Впервые данная оценка была улучшена в 1960 году Анатолием Карацубой, предложившим алгоритм умножения со временем работы $O(n^{\log _{2}3})$. В 1971 году Шёнхаге и Штрассен предложили алгоритм на основе быстрого преобразования Фурье со временем работы $O(n\log n\log \log n)$. В той же работе ими была выдвинута гипотеза о том, что оптимальный алгоритм умножения требует $O(n\log n)$ элементарных операций. Однако долгое время оценка сверху, заданная алгоритмом Шёнхаге и Штрассена оставалась без улучшений. Только в 2007 году, спустя 36 лет, Мартин Фюрер предложил алгоритм со временем работы $O(n\log n\cdot K^{\log ^{*}n})$ для неуточнённой константы $K>1$, где $\log ^{*}n$ — итерированный логарифм. В дальнейшем Харви и ван дер Хувен улучшили эту оценку сперва до $O(n\log n\cdot 4^{\log ^{*}n})$, а затем до $O(n\log n)$, таким образом подтверждая выдвинутую в гипотезе Шёнхаге и Штрассена оценку сверху. Алгоритм имеет большое теоретическое значение, так как на нём достигается предположительная нижняя оценка на время работы алгоритмов умножения чисел в модели многоленточной машины Тьюринга. Однако практическое ускорение достигается лишь на числах, длина двоичной записи которых превосходит $2^{1729^{12}}\approx 2^{7\cdot 10^{38}}$ бит, в то время как число частиц в наблюдаемой вселенной оценивается как $2^{270}$.