XSL-атака

XSL-атака (англ. eXtended Sparse Linearization, алгебраическая атака) — это метод криптографического анализа, основанный на алгебраических свойствах шифра. Метод предполагает решение особой системы уравнений.

Данный метод был предложен в 2001 году Николя Куртуа (Nicolas T. Courtois) и Юзефом Пепшиком (Josef Pieprzyk).

XSL-атаки ранее считались невозможными, однако 26 мая 2006 года Куртуа продемонстрировал возможность XSL-атаки против модели одного шифра, сходного по своей структуре с шифром AES^[1].

Как говорил один из создателей шифра Rijndael в частной переписке: «XSL — это не атака, это всего лишь мечтательный сон». «Этот сон может превратиться в кошмар», — отвечал Николя Куртуа^[2].

Если XSL атаки действительно работают, они взломают все существующие на данный момент шифры. Спасти шифр от взлома может лишь чистая случайность. С другой стороны вполне возможно (а с нашей точки зрения и наиболее вероятно), что XSL атаки не применимы на практике или же применимы только к небольшому числу высокоструктурированных шифров

— Нильс Фергюсон, Брюс Шнайер Практическая криптография^[3]

История создания

В 2001 году Нильс Фергюсон, Ричард Шроппель (R. Schroeppel) и Даг Вайтинг (D. Whiting) опубликовали статью^[4], в которой смогли представить запись шифра Rijndael в виде алгебраической формулы, используя представления линейных частей шифра и нелинейных S-блоков в виде уравнений высокого порядка . Они пришли к выводу, что все симметричные блочные шифры могут быть приведены к многомерному уравнению над некоторым конечным полем. Они же задались вопросом, поможет ли знание об алгебраической форме помочь взломать шифр. Если в функции, выражающей S-блоки, не учитывать аргументы в степени -1, тогда шифр становится аффинным и легко взламывается другими способами, не требующими линеаризации. Если же приравнять эти аргументы $1/x$ к $x^{254}$ , то уравнение получается полиномиально сложным.

В те годы появлялось множество атак на открытые ключи: атака на систему Мацумото-Имаи^[5], атака на HFE^[6]. Эти атаки завершались успехом сразу после раскрытия факта (теоретического или экспериментального) существования дополнительных уравнений многих переменных, которые не очевидны и не были предусмотрены разработчиками оригинального шифра^[7].

Ади Шамир в 1998 показал, что квадратные уравнения многих переменных (MQ) — NP-полная задача^[8]. Её сложность заметно снижается, когда уравнения становятся переопределены^[7]. В первом исследовании Николя Куртуа и Юзеф Пепшик показывают, что получаемые MQ — разрежены и имеют регулярную структуру^[7].

2 декабря 2002 года на ASIACRYPT-2002 Николя Куртуа и Юзеф Пепшик выступили со статьёй "Cryptanalysis of block ciphers with overdefined systems of equations", где впервые представили две вариации метода XSL-атаки^[9]. Выводом из этой работы служит то, что стойкость AES опирается только на невозможность на данный момент решить систему уравнений, описывающую алгебраическую структуру шифра.

XSL-шифр

Обобщая класс SP-шифров, которые состоят из S-блоков и функций перемешивания бит (permutation of bits), Куртуа и Пепчик обозначили новый класс SA-шифров, который состоит из S-блоков и аффинных функций^[10]. Согласно исследованию Ади Шамира и Алекса Бирюкова атаки на SA-шифры не зависят от свойств определенного S-блока^[11]. После в статье был введён XSL-шифр класса SA, который описывает структуру типового блочного шифра, для которого метод может быть применён.

Структура шифрования состоит из $N$ раундов:

$X:$ в раунде $i=1$ проводится операция $XOR$ открытого текста с сессионым ключом $K_{i-1}$
$S:$ Результат разделяется на блоки по $s$ бит. Каждый такой блок параллельно поступает на вход некоторого числа B биективных S-блоков.
$L:$ потом применяем линейный рассеивающий слой.
$X:$ применяем операцию $XOR$ к следующему сессионному ключу $K_{i}$
если $i=N$ прерываем цикл, в противном случае переходим к следующей итерации по $i$ и возвращаемся к шагу $S$ .

Математические основы

S-блоки шифров Rijndael и Serpent могут быть представлены в виде некоторой функции многих переменных высоких степеней^[12], метод Куртуа понижает степень функции до некоторого числа $d$ , где $d$ обычно выбирается равным 2, с помощью расширения пространства аргументов. Особый интерес имеет количество таких функций $r$ . Если $r=s$ , такие уравнения достаточно описывают S-блок. Если же $r>>s$ , тогда говорим, что система переопределена.

Существует два типа XSL-атак. Первый (общий) оперирует с XSL-шифрами, независимо от алгоритма расписания ключей (см. key schedule). Тогда алгоритм требует такое число шифротекстов, сколько внутри шифра существует S-блоков. Второй вариант XSL-атаки учитывает, что известен алгоритм расписания ключей, поэтому требует всего один шифротекст^[13].

Алгоритм первого варианта XSL-атаки

Каждый раунд работы S-блока записывается в виде уравнения:

${\displaystyle \sum _{i,j}\alpha _{ijk}*X_{ij}*Y_{jk}+\sum _{i,j}\beta _{ij}*X_{ij}+\sum _{i,j}\gamma _{ij}*Y_{ij}+\delta =0}$

где $X_{ij}$ - биты на входе $i$ - ого S-блока, $Y_{ik}$ - биты на выходе $i$ - ого S-блока.

Далее выбирается критический параметр атаки $P\in \mathbb {N}$ . Во время атаки уравнение каждого S-блока будет умножаться на все возможные одночлены подмножества $(P-1)$ оставшихся S-блоков. Причем при изменении числа раундов шифра параметр $P$ должен возрастать не сильно, как показали эксперименты Куртуа и Пепшика^[14].

Далее для нахождения системы, для которой существует единственное решение, записывается новое уравнение:

$X_{i,j}\bigoplus \sum \alpha _{j}Y_{i-1,j}=X'_{i,j}\bigoplus \sum \alpha _{j}Y'{i-1,j}=X''_{i,j}\sum \alpha _{j}Y''_{i-1,j}=...$

Цель всех этих преобразований — привести систему уравнений к линейной переопределенной системе, в которой нет очевидных линейно зависимых уравнений.

Мнение научного сообщества

Метод алгебраических атак показался многообещающим для криптоанализа, так как не требовал большого числа шифротекстов в теории и предлагал взлом наиболее используемого стандарта шифрования (AES). В течение пяти лет вышло много исследований на тему работоспособности XSL-атак.

Так, в работе Карлоса Сида (Carlos Cid) и Г. Лорен (Ga¨etan Leurent) был разобран второй вариант XSL-атаки из оригинальной статьи — compact XSL — на AES-128^[15]. В статье были разобраны примеры, при которых данный алгоритм рушится в так называемом T-блоке, который используется для расширения пространства переменных. Однако учёные сделали вывод, что XSL подход — первая попытка найти уязвимость в структурной части AES-шифра.

Например, в работе Chu-Wee Lim и Khoongming Khoo ^[16] исследуется попытка взлома приложения BES (Big Encryption System) к AES. Это расширение переводит все вычисления в поле ${GF_{256}}$ , что, соответственно, должно уменьшать количество операций. Однако теоретические расчёты показали, что сложность алгоритма для BES-шифра повышается. Сложность для вариантов BES:

BES-128: $\approx 2^{401}$
BES-192: $\approx 2^{622}$
BES-256: $\approx 2^{691}$

Было установлено, что XSL-атака не эффективна против BES-шифров.

Примечания

↑ Algebraic Cryptanalysis of the Data Encryption Standard, 2007, pp. 152-169.
↑ Vincent Rijmen. Rijndael and other block ciphers (неопр.). NESSIE forum (12-18-02 18:51). Дата обращения: 20 декабря 2018. Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года.
↑ Нильс Фергюсон, Брюс Шнайер. Практическая криптография = Practical Cryptography: Designing and Implementing Secure Cryptographic Systems. — М. : Диалектика, 2004. — 432 с. — 3000 экз. — ISBN 5-8459-0733-0, ISBN 0-4712-2357-3.
↑ A Simple Algebraic Representation of Rijndael, 2001, pp. 1-9.
↑ Jacques Patarin. Cryptanalysis of the Matsumoto and Imai Public Key Scheme of Eurocrypt’88 // Advances in Cryptology — CRYPT0’ 95. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1995. — С. 248–261. — ISBN 9783540602217, 9783540447504.
↑ Cryptographers' Track at RSA Conference (2001 : San Francisco, Calif.). Topics in cryptology, CT-RSA 2001 : the Cryptographers' Track at RSA Conference 2001, San Francisco, CA, USA, April 2001 : proceedings. — ISBN 3540418989, 9783540418986, 2001020877.
↑ ¹ ² ³ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 2.
↑ Aviad Kipnis, Adi Shamir. Cryptanalysis of the HFE Public Key Cryptosystem by Relinearization // Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1999. — С. 19–30. — ISBN 9783540663478, 9783540484059.
↑ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 1-35.
↑ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 3.
↑ Alex Biryukov, Adi Shamir. Structural Cryptanalysis of SASAS // Journal of Cryptology. — 2010-06-08. — Т. 23, вып. 4. — С. 505–518. — ISSN 1432-1378 0933-2790, 1432-1378. — doi:10.1007/s00145-010-9062-1.
↑ A Simple Algebraic Representation of Rijndael, 2001, pp. 1-4.
↑ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 6-8.
↑ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 12.
↑ International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security (11th : 2005 : Madras, India). Advances in cryptology : ASIACRYPT 2005, 11th International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security, Chennai, India, December 4-8, 2005 : proceedings. — Springer, 2005. — ISBN 9783540322672, 3540322671, 3540306846, 9783540306849.
↑ An Analysis of XSL Applied to BES, 2007, pp. 7-13.

Литература

Nicolas T. Courtois, Gregory V. Bard. Algebraic Cryptanalysis of the Data Encryption Standard // Cryptography and Coding. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2007. — ISBN 9783540772712.
Фергюсон Н., Шнайер Б. Практическая криптография. — 2005. — 424 с.
Nicolas T. Courtois and Josef Pieprzyk. Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin, 2002. — С. 1-35.
Chu-Wee Lim, Khoongming Khoo. An Analysis of XSL Applied to BES // Fast Software Encryption. — 2007. — С. 13. Архивировано 3 марта 2016 года.
Niels Ferguson, Richard Schroeppel, Doug Whiting. A Simple Algebraic Representation of Rijndael // Selected Areas in Cryptography. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2001. — С. 103–111. — ISBN 9783540430667, 9783540455370.

[_1daaa492f2e62341-1] Algebraic Cryptanalysis of the Data Encryption Standard, 2007, pp. 152-169.

[2] Vincent Rijmen. Rijndael and other block ciphers (неопр.). NESSIE forum (12-18-02 18:51). Дата обращения: 20 декабря 2018. Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года.

[3] Нильс Фергюсон, Брюс Шнайер. Практическая криптография = Practical Cryptography: Designing and Implementing Secure Cryptographic Systems. — М. : Диалектика, 2004. — 432 с. — 3000 экз. — ISBN 5-8459-0733-0, ISBN 0-4712-2357-3.

[_0cb6b632bfa935ab-4] A Simple Algebraic Representation of Rijndael, 2001, pp. 1-9.

[5] Jacques Patarin. Cryptanalysis of the Matsumoto and Imai Public Key Scheme of Eurocrypt’88 // Advances in Cryptology — CRYPT0’ 95. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1995. — С. 248–261. — ISBN 9783540602217, 9783540447504.

[6] Cryptographers' Track at RSA Conference (2001 : San Francisco, Calif.). Topics in cryptology, CT-RSA 2001 : the Cryptographers' Track at RSA Conference 2001, San Francisco, CA, USA, April 2001 : proceedings. — ISBN 3540418989, 9783540418986, 2001020877.

[_a002f3282cd950ec-7] ¹ ² ³ Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 2.

[8] Aviad Kipnis, Adi Shamir. Cryptanalysis of the HFE Public Key Cryptosystem by Relinearization // Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1999. — С. 19–30. — ISBN 9783540663478, 9783540484059.

[_29189fb157562dcc-9] Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 1-35.

[_a002f3282cd950ed-10] Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 3.

[11] Alex Biryukov, Adi Shamir. Structural Cryptanalysis of SASAS // Journal of Cryptology. — 2010-06-08. — Т. 23, вып. 4. — С. 505–518. — ISSN 1432-1378 0933-2790, 1432-1378. — doi:10.1007/s00145-010-9062-1.

[_0cb6b632bfa935a6-12] A Simple Algebraic Representation of Rijndael, 2001, pp. 1-4.

[_ad5a37e6835b7197-13] Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 6-8.

[_be541c443544862f-14] Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of Equations, 2002, pp. 12.

[15] International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security (11th : 2005 : Madras, India). Advances in cryptology : ASIACRYPT 2005, 11th International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security, Chennai, India, December 4-8, 2005 : proceedings. — Springer, 2005. — ISBN 9783540322672, 3540322671, 3540306846, 9783540306849.

[_96db89b1f38b97e7-16] An Analysis of XSL Applied to BES, 2007, pp. 7-13.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]