S-волна

S-волны представляют собой тип упругих волн. Название S-волны связано с английским «shear waves» — сдвиговые волны или волна сдвига (рисунок 1). Так как модуль сдвига в жидкостях и газах равен нулю, то S-волны могут проходить только через твёрдые тела. В случаях, когда упругость не проявляется (например, в несжимаемой жидкости), в них распространяются вязкие волны.

Рис. 1. Движение в поперечной волне

Основные свойства

Это поперечная волна, вектор её распространения перпендикулярен вектору поляризации. На рисунке 2 можно наблюдать поляризацию S-волны и видно, что из условия перпендикулярности вектору поляризации возникает два решения для волнового вектора для SH-волны и SV-волны, также там изображены и вектора распространения.

Рис. 2. Поляризация S-волн и направления волновых векторов

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SV, где А — амплитуда падающей волны:

u_{SV}=A{\begin{pmatrix}\cos {j}\\0\\\sin {j}\end{pmatrix}}\exp \left[i\omega \left({\frac {\sin {j}}{v_{s}}}x-{\frac {\cos {j}}{v_{s}}}z-t\right)\right].

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SH, где А — амплитуда падающей волны:

u_{SH}=A{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\exp \left[i\omega \left({\frac {\sin {j}}{v_{s}}}x-{\frac {\cos {j}}{v_{s}}}z-t\right)\right].

Скорость волн S в однородной изотропной среде выражается:

v_{s}={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\nu )\rho }}},

где

\mu

— модуль сдвига (модуль жёсткости, иногда обозначается как

G

и также называется параметром Ламе),

\rho

— плотность среды, через которую проходит волна.

Из формул видно, что скорость зависит от изменения $\mu ,$ $E$ — модуль Юнга и $\nu$ — коэффициента Пуассона. При расчётах должны использоваться адиабатические модули упругости.

Рис. 3. Сейсмограмма землетрясения

Типичные значения для скоростей S-волн во время землетрясений находятся в диапазоне от 2,5 до 5 км/с. Скорость поперечной волны всегда меньше скорости продольной волны, что видно на сейсмограммах (рисунок 3). В отличие от Р-волны, S-волна не может проходить через расплавленное внешнее ядро Земли, и это приводит к существованию теневой зоны для S-волн. Но они ещё могут появиться в твёрдом внутреннем ядре, так как возникают при преломлении Р-волны на границе расплавленного и твёрдого ядра, что называется разрывом Леманн, возникающие S-волны затем распространяются в твёрдой среде. И затем S-волны преломляются по границе, и они снова в свою очередь создают P-волны. Это свойство позволяет сейсмологам определять свойства внутреннего ядра.

Преломление S-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем два непрерывных граничных условия

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{-}}=\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{+}},$ ${\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{-}}={\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{+}},$

где n — вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон $S_{+}$ и $S_{-}$ на границе. Так же как и для Р-волны, для волны типа SV существует 4 типа волн, порождаемых падением волны SV на поверхность двух сред — это две преломлённые Р, SV волны и две отражённые Р, SV волны, но для падающей на границу двух сред SH волны этого не происходит, она не порождает волны другого типа поляризации, что и видно на рисунках 4, 5.

Рис. 4. Падение волны SV на границу двух сред

Рис. 5. Падение волны SH на границу двух сред

Преломление S-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остаётся только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S}=0.$

Тогда в случае SV-волны, где А — это амплитуда падающей волны, $v_{s}$ — скорость поперечной волны в среде, $v_{p}$ — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды SV, j — угол отражения моды SV от моды SV, получаем $k_{sp}=A{\frac {2v_{p}/v_{s}\sin 2i\cos 2j}{(v_{p}/v_{s})^{2}\cos ^{2}2j+\sin 2j\sin 2i}},$

$k_{ss}=A{\frac {(v_{p}/v_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)-\sin(2j)\sin(2i)}{(v_{p}/v_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)+\sin(2j)\sin(2i)}}.$

$k_{ss}$ — это коэффициент отражения моды SV от моды SV, $k_{sp}$ — это коэффициент отражения моды P от моды SV. Напишем теперь коэффициент отражения в случае волны SH, где А — это амплитуда падающей волны, $v_{s}$ — скорость поперечной волны в среде, j — угол отражения моды SH от моды SH и $k_{sh-sh}$ — это коэффициент отражения SH в SH:

$k_{sh-sh}=A,$

что говорит о том, что вся волна отражается при падении на свободную границу.

См. также

Литература

Яновская Т. Б. Основы сейсмологии.-ВВМ, 2006
Аки К.,Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы.-М.:Мир,1983
Сейсморазведка. Справочник геофизика./Под ред. И. И. Гурвича, В. П. Номоконова.- Москва: Недра,1981