Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого $n$ -мерного многогранника $P$ обозначим через $f_{k}$ количество граней $P$ размерности $k$ ; в частности, $f_{n}=1$ . Рассмотрим формальную сумму

\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}

где $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{\binom {i}{k}}$ , то есть коэффициенты $h_{k}$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

h_{k}=h_{n-k}

для каждого целого $k$ .

Связанные определения

Последовательность $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ называется f-вектором многогранника.
Последовательность $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ называется h-вектором многогранника.
- Если $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника $P$ лежат на разных уровнях $\ell$ , тогда $h_{k}$ равно числу вершин $P$ индекса $k$ ; то есть ровно $k$ рёбер из этой вершины идут вниз по $\ell$ . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой $\ell$ на $-\ell$ .
  - В дополнении получаем $h_{k}\geqslant 0$ для любого $k$ , это даёт нетривиальные неравенства на $f$ -вектор.