Простой многогранник

Простой многогранник — выпуклый $d$-мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно $d$ рёбер.

Примеры

• Размерность 3
  • Тетраэдр
  • Куб
  • Додекаэдр
  • Призма
• Любой многогранник Коксетера является простым

Свойства

• Многогранник является простым тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник симплициальный.
• Уравнения Дена — Сомервиля для простого многогранника выглядит следующим образом: если $f_{k}$ — число $k$-мерных граней $n$-мерного многогранника и

  $\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}$

то $h_{k}=h_{n-k}$ для любого $k$.

• Комбинаторный тип простого многогранника полностью определяется графом из его вершин и рёбер.
• Простые многогранники образуют открытое всюду плотное множество в пространстве многогранников с фиксированным числом граней коразмерности 1, которое снабжено метрикой Хаусдорфа.