Axiom

Axiom
Axiom
Тип	система компьютерной алгебры
Разработчик	независимая группа людей
Написана на	Лисп
Операционная система	кроссплатформенное программное обеспечение
Последняя версия	August 2014 (август 2014);
Репозиторий	github.com/daly/axiom
Лицензия	модифицированная лицензия BSD
Сайт	axiom-developer.org
	Медиафайлы на Викискладе

Axiom — свободная система компьютерной алгебры общего назначения. Она состоит из среды интерпретатора, компилятора и библиотеки, описывающей строго типизированную, математически правильную иерархию типов.

История

Разработка системы начата в 1971 году группой исследователей IBM под руководством Ричарда Дженкса^[2]^[3]. Изначально система называлась Scratchpad. Проект развивался медленно и в основном рассматривался как исследовательская платформа для разработки новых идей в вычислительной математике.

В 1990-х годах система была продана компании Numerical Algorithms Group (NAG), получила название Axiom и стала коммерческим продуктом. Но по ряду причин система не получила коммерческого успеха и была отозвана с рынка в октябре 2001 года.

NAG решила сделать Axiom свободным программным обеспечением и открыла исходные коды под модифицированной лицензией BSD.

В 2007 году у Axiom появились два форка с открытым исходным кодом: OpenAxiom и FriCAS.

Разработка системы продолжается, новые версии выходят каждые два месяца^[4].

Философия проекта

Технология литературного программирования Кнута используется по всему исходному коду. Проект Axiom планирует использовать проверенные технологии (такие как Coq и ACL2) для доказательства корректности алгоритмов.

Особенности

В Axiom все объекты имеют тип. Примерами типов являются математические структуры (такие как кольца, поля, многочлены), а также структуры данных из вычислительной техники (например, списки, деревья, хеш-таблицы).

Функция может получить тип в качестве аргумента, и её возвращаемое значение также может быть типом. Например, Fraction — функция, получающая IntegralDomain в качестве аргумента, и возвращающая поле отношений своего аргумента. В качестве другого примера кольцо $4\times 4$ матриц действительных чисел может быть построено как SquareMatrix(4, Fraction Integer). Конечно, если работать в этом домене, 1 интерпретируется как единичная матрица и A^-1 позволяет получить обратную матрицу A, если она существует.

Некоторые операции могут иметь одинаковые имена, и тогда типы аргументов и результата используются для определения того, какая операция применяется, подобно тому, как в ООП.

Язык расширений Axiom называется SPAD. Вся математическая база Axiom написана на этом языке. Интерпретатор принимает почти такой же язык.

SPAD в дальнейшем разрабатывался под именем A# и позже Aldor. Последний, кроме того, может быть использован как альтернативный язык расширений. Однако, следует учесть, что он распространяется под другой лицензией.

Примеры

3j-символы

Вычисление 3j-символов и коэффициентов Клебша-Гордана.

j3Sum (j1, j2, j3, m1, m2, m3) ==
  maxz := reduce (min, [j1+j2-j3, j1-m1, j2+m2])
  minz := max(0, max ( -(j3-j2+m1), -(j3-j1-m2) ))
  minz > maxz => 0
  maxz < 0    => 0
  sum ( (-1)^(z+j1-j2-m3) / _
    ( factorial(z) * factorial(j1+j2-j3-z) * factorial(j1-m1-z) * _
      factorial(j2+m2-z) * factorial(j3-j2+m1+z) * factorial(j3-j1-m2+z) ), _
    z=minz..maxz)

j3 (j1, j2, j3, m1, m2, m3) ==
  m1 + m2 + m3 ~= 0  => 0
  abs(j1 - j2) > j3  => 0
  j1 + j2 < j3       => 0
  abs(m1) > j1       => 0
  abs(m2) > j2       => 0
  abs(m3) > j3       => 0
  not integer? (j1+j2+j3) => 0
  sqrt ( _
    factorial(j1+j2-j3) * factorial(j1-j2+j3) * factorial(-j1+j2+j3) / _
                          factorial(j1+j2+j3+1) * _
        factorial(j1+m1) * factorial(j1-m1) * _
        factorial(j2+m2) * factorial(j2-m2) * _
        factorial(j3+m3) * factorial(j3-m3)
    ) * j3Sum (j1, j2, j3, m1, m2, m3)

clebschGordan (j1, j2, j, m1, m2, m) ==
    (-1)^(j1-j2+m) * sqrt(2*j+1) * j3(j1, j2, j, m1, m2, -m)

Общая теория относительности

«Аксиома» выводит символы Кристоффеля и тензоры Римана и Риччи в решении Шварцшильда.

x := vector ['t, 'r, '%theta, '%phi];
dim := #x;

%nu := operator '%nu;
%lambda := operator '%lambda;
lg := matrix [
    [exp(%nu r),       0,         0,    0], _
    [       0,  - exp(%lambda r), 0,    0], _
    [       0,      0,          -r^2,   0], _
    [       0,      0,            0,  -r^2*sin(%theta)^2]  _
    ];

ug := inverse lg;

grSetup(metric, names) ==
    free x
    free dim
    free lg
    free ug
    x   := names
    dim := #x
    lg  := metric
    ug  := inverse lg

sum(list) == reduce (+, list)

Christoffel (k,l,i) ==
 (1/2) * sum [ ug(i,m)*(D(lg(k,m), x(l)) + D(lg(m,l), x(k)) - D(lg(k,l), x(m)))
         for m in 1..dim ]

Riemann (k,l,m,i) ==
 D(Christoffel(k,m,i), x(l)) -
  D(Christoffel(k,l,i), x(m)) +
   sum [ 
    Christoffel(n,l,i)*Christoffel(k,m,n) -
     Christoffel(n,m,i)*Christoffel(k,l,n)
      for n in 1..dim ]

Ricci (i,k) == sum [ Riemann(i,l,k,l) for l in 1..dim ]

scalarCurvature () == sum [ sum [
                       ug(i,k) * Ricci(i,k)
                        for i in 1..dim ]  for k in 1..dim ]

lRiemann (i,i,l,m) == 0
lRiemann (i,k,l,l) == 0
lRiemann (i,k,l,m | i > k) == - lRiemann (k,i,l,m)
lRiemann (i,k,l,m | l > m) == - lRiemann (i,k,m,l)
lRiemann (i,k,l,m) == sum [ lg(i,n) * Riemann(k,l,m,n) for n in 1..dim ]

showChristoffel () ==
 for k in 1..dim repeat
  for l in 1..k repeat
   for i in 1..dim repeat
    if Christoffel(k,l,i) ~= 0 then
        k > l => output infix ('=, [script('%Gamma,[[k-1,l-1],[i-1]]), _
                      script('%Gamma,[[l-1,k-1],[i-1]]), _
                      Christoffel(k,l,i)::OUTFORM])
        k = l => output infix ('=, _
                  [script('%Gamma,[[k-1,l-1],[i-1]]), _
                   Christoffel(k,l,i)::OUTFORM])

showRicci () ==
 for i in 1..dim repeat
   for k in 1..i repeat
    if Ricci(i,k) ~= 0 then
        i = k => output infix ('=, [subscript('R,[i-1,k-1]), Ricci(i,k)::OUTFORM])
        i > k => output infix ('=, [subscript('R,[i-1,k-1]), _
                                    subscript('R,[k-1,i-1]), _
                                    Ricci(i,k)::OUTFORM])

showRiemann () ==
 for k in 1..dim repeat
  for l in 1..dim repeat
   for m in 1..dim repeat
    for i in 1..dim repeat
     if Riemann(k,l,m,i) ~= 0 then
        output infix ('=, _
          [script('R, [[k-1,l-1,m-1 ], [i-1]]), Riemann(k,l,m,i)::OUTFORM])

(21) -> showChristoffel()
   Compiling function sum with type List Expression Integer -> 
      Expression Integer 
   Compiling function Christoffel with type (PositiveInteger,
      PositiveInteger,PositiveInteger) -> Expression Integer 
   Compiling function showChristoffel with type () -> Void 
                %nu(r)   ,
              %e      %nu (r)
         1
   %Gamma   = ---------------
         0,0      %lambda(r)
               2%e
                            ,
                         %nu (r)
         0          0
   %Gamma   = %Gamma   = -------
         1,0        0,1     2
                     ,
              %lambda (r)
         1
   %Gamma   = -----------
         1,1       2
         2          2    1
   %Gamma   = %Gamma   = -
         2,1        1,2  r
         1            r
   %Gamma   = - ------------
         2,2      %lambda(r)
                %e
         3          3    1
   %Gamma   = %Gamma   = -
         3,1        1,3  r
         3          3    cos(%theta)
   %Gamma   = %Gamma   = -----------
         3,2        2,3  sin(%theta)
                             2
         1      r sin(%theta)
   %Gamma   = - --------------
         3,3       %lambda(r)
                 %e
         2
   %Gamma   = - cos(%theta)sin(%theta)
         3,3
                                                                   Type: Void
(22) -> Ricci(3,3)
   Compiling function Riemann with type (PositiveInteger,
      PositiveInteger,PositiveInteger,PositiveInteger) -> Expression 
      Integer 
   Compiling function Ricci with type (PositiveInteger,PositiveInteger)
       -> Expression Integer

               ,              ,         %lambda(r)
         - r%nu (r) + r%lambda (r) + 2%e           - 2

   (22)  ---------------------------------------------
                            %lambda(r)
                         2%e
                                                     Type: Expression Integer

Галерея

Интерфейс Axiom в браузере Mozilla Firefox
Axiom упрощает уравнение теплоты
Работа с матрицами в Axiom

Документация

Axiom — литературная программа. Исходный код доступен в наборе томов на сайте: axiom-developer.org. Эти тома содержат актуальный исходный код системы.

На данный момент доступны следующие документы:

Общее оглавление
Volume 0: Axiom Jenks and Sutor — Основной учебник
Volume 1: Axiom Tutorial — Простое введение
Volume 2: Axiom Users Guide — Подробные примеры использования доменов (незавершённый)
Volume 3: Axiom Programers Guide — Руководство в примерах для написания программ (незавершённый)
Volume 4: Axiom Developers Guide — Короткие наброски на темы, специфичные для разработчиков (незавершённый)
Volume 5: Axiom Intepreter — Исходый код интерпретатора Axiom (незавершённый)
Volume 6: Axiom Command — Исходый код системных команд и скриптов (незавершённый)
Volume 7: Axiom Hyperdoc — Исходный код и разъяснения браузера справки X11 Hyperdoc
- Volume 7.1 Axiom Hyperdoc Pages — Исходный код страниц Hyperdoc
Volume 8: Axiom Graphics — Исходый код подсистемы X11 Graphics
Volume 9: Axiom Compiler — Исходый код компилятора Spad (незавершённый)
Volume 10: Axiom Algebra Implementation — Наброски особенностей реализации (незавершённый)
- Volume 10.1: Axiom Algebra Theory — Наброски, содержащие базовую теорию
- Volume 10.2: Axiom Algebra Categories — Исходный код категорий Axiom
- Volume 10.3: Axiom Algebra Domains — Исходый код доменов Axiom (незавершённый)
- Volume 10.4: Axiom Algebra Packages — Исходый код Axiom packages (незавершённый)
Volume 11: Axiom Browser — Исходные страницы внешнего интерфейса Axiom для браузера Firefox
Volume 12: Axiom Crystal — Исходный код внешнего интерфейса Axiom Crystal (незавершённый)

Видео

Важной целью проекта Axiom является предоставление документации. В ноябре 2008 года проект анонсировал первое из серии обучающих видео, которые также доступны на сайте: axiom-developer.org. Первое видео рассказывает о источниках информации о Axiom.^[5]

Примечания

↑ http://www.axiom-developer.org/axiom-website/releasenotes.html
↑ Richard Dimick Jenks (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2009. Архивировано 17 июля 2011 года.
↑ Домашняя страница Axiom Архивная копия от 18 августа 2004 на Wayback Machine.
↑ Патчи Архивная копия от 23 мая 2009 на Wayback Machine.
↑ «Axiom Computer Algebra System Information Sources» Архивная копия от 29 марта 2016 на Wayback Machine, jgg899, YouTube, 30 ноября 2008.

Ссылки

Домашняя страница Axiom
Сайт OpenAxiom.
Сайт FriCAS.
[rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3130675 Система компьютерной алгебры «Аксиома»]
Таранчук В. Б. Основные функции систем компьютерной алгебры (рус.). — Минск: БГУ, 2013. — 59 p.

[_d6eba39c59655869-1] ttp://www.axiom-developer.org/axiom-website/releasenotes.html

[2] Richard Dimick Jenks (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2009. Архивировано 17 июля 2011 года.

[3] Домашняя страница Axiom Архивная копия от 18 августа 2004 на Wayback Machine.

[4] Патчи Архивная копия от 23 мая 2009 на Wayback Machine.

[5] «Axiom Computer Algebra System Information Sources» Архивная копия от 29 марта 2016 на Wayback Machine, jgg899, YouTube, 30 ноября 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]