Эффективная оценка

Эффекти́вная оце́нка в математической статистике — наилучшая оценка в классе $\mathrm {K}$ в среднеквадратичном смысле.

Определение

Оценка ${\widehat {\theta }}_{1}\in \mathrm {K}$ параметра $\theta$ называется эффективной оценкой в классе $\mathrm {K}$, если для любой другой оценки ${\widehat {\theta }}_{2}\in \mathrm {K}$ выполняется неравенство $M_{\theta }({\widehat {\theta }}_{1}-\theta )^{2}\leqslant M_{\theta }({\widehat {\theta }}_{2}-\theta )^{2}$ для любого $\theta$.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки. Если несмещенная оценка ${\widehat {\theta }}_{1}$ является эффективной оценкой в классе несмещенных и дисперсия совпадает с оценкой в неравенстве Крамера-Рао, то такую статистику принято называть просто эффективной.

Единственность

Эффективная оценка ${\widehat {\theta }}$ в классе $\mathrm {K} _{b}=\{E({\widehat {\theta }})=c(\theta )\}$, где $c(\theta )$ — некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве $A$, вероятность попасть в которое равна нулю ($P(x\in A)=0$).

Асимптотическая эффективность

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремится к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) ${\sqrt {n}}{\hat {\theta }}$. В частности, асимптотически нормальная оценка

${\sqrt {n}}({\hat {\theta }}-\theta ){\xrightarrow {d}}N(0,V)$

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также

• Статистическая оценка
• Неравенство Крамера — Рао