Чезаровское среднее

Чезаровское среднее (среднее по Чезаро) — среднее арифметическое частичных сумм первых $n$ членов заданной последовательности $\{a_{n}\}$:

$c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}$

где $s_{n}$ — частичные суммы ряда:

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро.

Основной результат теории чезаровских средних — теорема Штольца — утверждает, что если существует предел последовательности частичных сумм $s_{n}$, то также существует предел последовательности $c_{n}$, и они равны:

$\exists \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}=A\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }c_{n}=A$.

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность $a_{n}=(-1)^{n}$.) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Ссылки

• Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.