Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно $+\infty$ или $-\infty$.

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения

Нижний предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$:

• $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}$ (в отечественной литературе);

• $\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$:

• $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$ (в отечественной литературе);

• $\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ (в иностранной литературе).

Примеры

• $\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

• $\varliminf _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=-1$

• $\varlimsup _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=+1$

• $\nexists \varliminf _{n\to \infty }n,\nexists \varlimsup _{n\to \infty }n$ (в другой терминологии оба предела равны $+\infty$)

Свойства

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать $-\infty$ и $+\infty$ допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к $a$ тогда и только тогда, когда $\varliminf _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=a$.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, начиная с некоторого номера, зависящего от $\varepsilon$, лежат внутри интервала $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)$.
• Если за пределами интервала $\left(a,b\right)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, то интервал $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)$ содержится в интервале $\left(a,b\right)$.
• Множество частичных пределов замкнуто.

Примечания