Циклический многогранник

Циклический многогранник — выпуклый многогранник, вершины которого лежат на кривой $t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})$ в $\mathbb {R} ^{d}$.

Конструкция

Пусть $\mathbf {x} (t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ и $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$. Выпуклая оболочка $n$ точек $\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})$ называется $d$-мерным циклическим многогранником с $n$ вершинами и далее обозначается $C(n,d)$.

Свойства

• Критерий Гейла: Пусть $T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}$, и $T_{d}\subset T$ — подмножество из $d$ элементов. Гипергрань в $C(n,d)$ соответствует $T_{d}$ тогда и только тогда, когда между любыми двумя соседними числами в $T_{d}$ лежит чётное число чисел из $T$.
• Любые $\lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor$ вершин в $C(n,d)$ образуют грань.
  • В частности, любые две вершины 4-мерного циклического многогранника соединены ребром.
• Число $i$-мерных граней в $C(n,d)$ при $0\leq i<\lfloor {\frac {d}{2}}\rfloor$ равно ${\binom {n}{i+1}}$.
  • Используя тождества Дена — Сомервиля, можно найти число граней старших размерностей.
  • Для любого $k$ среди всех $d$-мерных многогранников с $n$ вершинами циклические многогранники имеют максимальное число $k$-мерных граней.

Литература

• В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.