Хи-распределение

Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону $\chi ^{2}$.

Распределение хи
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$k>0\,$ (степени свободы)
Носитель	$x\in [0,\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}$
Функция распределения	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Математическое ожидание	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Медиана	примерно ${\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}$
Мода	${\sqrt {k-1}}\,$ если $k\geq 1$
Дисперсия	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Коэффициент асимметрии	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
Коэффициент эксцесса	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Дифференциальная энтропия	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
Производящая функция моментов	См. в тексте
Характеристическая функция	См. в тексте

Если $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика

$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}$

распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения $s$ разделить на $\mu _{1}/{\sqrt {n-1}}$, где $\mu _{1}$ — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — $k$, который задаёт число степеней свободы (то eсть количество $Z_{i}$).

Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).

Определение

Плотность вероятности

Плотность вероятности хи распределения равна

$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}$

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция.

Функция распределения

Функция распределения равна:

$F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,$

где $P(k,x)$ — регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

Производящая функция моментов равна:

$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),$

где $M(a,b,z)$ — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:

$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).$

Свойства

Моменты

Моменты вычисляются по формуле:

$\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция. Первые шесть моментов задаются по следующим формулам:

$\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

$\mu _{2}=k\,$

$\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}$

$\mu _{4}=k(k+2)\,$

$\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}$

$\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,$

где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,$

Также из этих выражений можно получить следующие формулы:

Среднее: $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

Дисперсия: $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$ — из выражений для первых двух моментов.

Коэффициент асимметрии: $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$

Коэффициент эксцесса: $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Энтропия

Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:

$S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))$

где $\psi ^{0}(z)$ — полигамма-функция.

Связь с другими распределениями

• Если $X\sim \chi _{k}$, тогда $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$ (хи-квадрат-распределение)
• $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,$ (нормальное распределение)
• Если $X\sim N(0,1)\,$, то $|X|\sim \chi _{1}\,$
• Если $X\sim \chi _{1}\,$, то $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ (полунормальное распределение) для любых $\sigma >0\,$
• $\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ (распределение Рэлея)
• $\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ (распределение Максвелла)
• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ (вторая норма от $k$ стандартных нормальных случайных величин — хи-распределение с $k$ степенями свободы)
• Хи-распределение — специальный случай гамма-распределения, распределение Накагами и нецентрального хи-распределения.

Виды распределений хи и хи-квадрат

Название	Статистика
хи-квадрат распределение	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
нецентральное хи-квадрат распределение	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
хи-распределение	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
нецентральное хи-распределение	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

См. также

• Распределение Накагами

Литература

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

Ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html