Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа $b$ есть решение уравнения $10^{x}=b.$

График десятичного логарифма

Вещественный десятичный логарифм числа $b$ существует, если $b>0$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех $b\neq 0$). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его $\lg \,b$. Примеры:

$\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2$

$\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3$

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: $\operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10}$, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

	Формула	Пример
Произведение	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4$
Частное от деления	$\lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Степень	$\lg(x^{p})=p\lg(x)$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7$
Корень	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

$\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),$

$\lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

$\lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел $x,y$ с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел $x,y$.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения $x\cdot y$.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

$\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

$\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

$\lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: $y=\lg \,x.$ Она определена при всех $x>0.$ Область значений: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

${\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}$

Ось ординат $(x=0)$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

$\lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty$

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) $[\lg x]$ легко определить.

• Если $x\geqslant 1$, то $[\lg x]$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа $x$. Например, сразу очевидно, что $\lg 345$ находится в промежутке $(2,3)$.
• Если $0<x<1$, то ближайшее к $\lg x$ целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в $x$ перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, $\lg 0{,}0014$ находится в интервале $(-3,-2)$.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на $n$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на $n.$ Например:

$\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от $1$ до $10$. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10^C

Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Запись
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел $n$ одна и та же мантисса $M$, поскольку:

$\lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C$,

где $1<x<10$ — значащая часть числа $n$.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История

Основная статья: История логарифмов

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

• Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)