Кардинальный синус

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
$\operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$
В математике ненормированная функция sinc определяется как
$\operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$

Нормировка функции выполняется из условия:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1

откуда $a=\pi .$

для ненормированной функции ( $a=1$ ):

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

$\operatorname {sinc} \left(0\right)=1$ и $\operatorname {sinc} \left(k\right)=0$ для всех $k\neq 0$ и $k\in \mathbb {Z}$ (целые числа); то есть это интерполянт.

функции $x_{k}\left(t\right)=\operatorname {sinc} \left(t-k\right)$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ , с наибольшей круговой частотой $\omega _{H}=\pi$ .

Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc находятся в точках, где значения функции sinc совпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиков sinc и cos) - условие равенства нулю производной ${\frac {\sin x}{x}}$ (локальный экстремум в точке $x=a$ ) выполняется при условии ${\frac {\sin a}{a}}=\cos a$ .

Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).

Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции $\operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции $\operatorname {rect} \left(f\right)$ .

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} \left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt=\operatorname {rect} \left(f\right)

,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

Разложение в бесконечное произведение:

\operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)

Выражение через гамма-функцию:

\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}}

где

\Gamma \left(x\right)

— гамма-функция.

Использование и приложения

Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также