sgn

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается $\operatorname {sgn} x$. Определяется следующим образом:

График функции y = sgn x

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

$\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|$

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История и обозначения

Функцию $\operatorname {sgn} x$ ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: $[x]$. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с $\operatorname {sgn}$, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение $sgn.x$, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как $\operatorname {sign} x$.

Свойства функции

• Область определения: $\mathbb {R}$.
• Область значений: $\{-1;0;+1\}$.
• Гладкая во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны $+1$ и $-1$ соответственно.
• $|x|=\operatorname {sgn} x\cdot x$ и $x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|$ для $\forall x\in \mathbb {R}$. Иначе говоря,

$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}$ при $x\neq 0$.

• ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)$, где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака.
• $\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)$.
• $\operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt$.

Обобщения функции для комплексного аргумента

• Представление

$\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}$

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$, где $\varphi =\operatorname {Arg} z$ — аргумент комплексного числа $z$. При $z\neq 0$ результатом функции $\operatorname {sgn} z$ является точка единичной окружности, ближайшая к числу $z$. Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу $z$. Это же направление в полярных координатах задаёт угол $\varphi$. Неопределённое направление, отвечающее числу $z=0$, выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell.

• Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как $\operatorname {csgn}$, определяется следующим образом:

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}$

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple.

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.