Функции Крылова

Функции Крылова (функции Крылова — Дункана) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения:

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay$.

(1)

Общее решение уравнения (1) при $a\geq 0$ выражается как линейная комбинация четырёх функций:

$y(x)=C_{1}\cdot \operatorname {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operatorname {K} _{2}(\beta x)+C_{3}\cdot \operatorname {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operatorname {K} _{4}(\beta x)$,

где $\beta ={\sqrt[{4}]{a}}$.

Обычно в качестве функций $\operatorname {K} _{1}(x)$, $\operatorname {K} _{2}(x)$, $\operatorname {K} _{3}(x)$, $\operatorname {K} _{4}(x)$ используются $e^{x}$, $e^{-x}$, $\sin x$ и $\cos x$, но в задачах теории упругости используются функции $\operatorname {K} _{1}(x)$, $\operatorname {K} _{2}(x)$, $\operatorname {K} _{3}(x)$, $\operatorname {K} _{4}(x)$ специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова, который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании. Иногда их обозначают символами $\operatorname {S} (x)$, $\operatorname {T} (x)$, $\operatorname {U} (x)$, $\operatorname {V} (x)$.

Независимо были введены английским учёным У. Дж. Дунканом.

Определение

Графики функций Крылова

Функции Крылова выражаются следующим образом:

$\operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x+\cos x)$,

$\operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x+\sin x)$,

$\operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x-\cos x)$,

$\operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x-\sin x)$.

Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:

$\operatorname {K} _{1}(x)=\operatorname {K} _{2}'(x)=\operatorname {K} _{3}''(x)=\operatorname {K} _{4}'''(x)=\operatorname {K} _{1}^{IV}(x)$.

Кроме того выполнены следующие начальные условия: при $x=0$, первая функция равна 1, а все остальные равны 0:

$\operatorname {K} _{1}(0)=1$, $\operatorname {K} _{2}(0)=\operatorname {K} _{3}(0)=\operatorname {K} _{4}(0)=0$.

Функции Крылова — Власова

При $a<0$ решение уравнения (1) выражается через функции

$\operatorname {\Phi } _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x$,

$\operatorname {\Phi } _{2}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \sin x$,

$\operatorname {\Phi } _{3}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \cos x$,

$\operatorname {\Phi } _{4}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \sin x$,

которые называются функциями Крылова — Власова в честь В.З. Власова. Общим решением уравнения (1) при $a<0$ является линейная комбинация четырёх функций $\operatorname {\Phi } _{i}(\beta x)$ (при $i=1,2,3,4$), где $\beta ={\sqrt[{4}]{-a/4}}$.

Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:

$\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x=\operatorname {\Phi } _{1}(x)$,

$\operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)+\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)$,

$\operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operatorname {\Phi } _{2}(x)$,

$\operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)-\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)$.

Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:

$\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {V} _{2}'(x)=\operatorname {V} _{3}''(x)=\operatorname {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operatorname {V} _{1}^{IV}(x)$.

$\operatorname {V} _{1}(0)=1$, $\operatorname {V} _{2}(0)=\operatorname {V} _{3}(0)=\operatorname {V} _{4}(0)=0$.

См. также

• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

Литература

• Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.