Формула Лейбница (производной произведения)

Формула Лейбница для $n$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай $n$-кратного дифференцирования.

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ — $n$ раз дифференцируемые функции, тогда

$\left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},$ где $C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(n-k)!}}$ — биномиальные коэффициенты.

Примеры

При $n=1$ получается известное правило производной произведения:

$(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.$

В случае $n=2$ имеем:

$(f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{C_{2}^{k}f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.$

В случае $n=3$:

$(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.$

В случае $n=4$:

$(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.$

Доказательство и обобщение

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).$

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и $R=P\circ Q$. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

$R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).$

Непосредственное вычисление дает:

$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

• Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М.: ФАЗИС, 1997. — 554 с. — ISBN 5-7036-0031-6.