Формула Кубо

Формула Кубо представляет собой уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины в зависимости от нестационарного возмущения. Названа в честь Рёго Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году.

С помощью формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивости систем электронов как отклик на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Общая формула Кубо

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом $H_{0}$ . Среднее значение физической величины, описываемое оператором ${\hat {A}}$, можно оценить как:

$\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}$

${\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}$

куда $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ — статистическая сумма. Предположим теперь, что в момент времени $t=t_{0}$ на систему начинает действовать внешнее возмущение. Это возмущение описывается дополнительной временной зависимостью гамильтониана: ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ где $\theta (t)$ — функция Хевисайда, которая равна 1 для положительных моментов времени и 0 в противном случае и ${\hat {V}}(t)$ — эрмитово и определено для всех t, таким образом, что для положительного $t-t_{0}$, ${\hat {H}}(t)$ обладает полным набор действительных собственных значений $E_{n}(t)\,,$ но эти собственные значения могут изменяться со временем.

Однако теперь снова можно найти временную эволюцию матрицы плотности ${\hat {\rho }}(t)$ из правой части выражения для статистической суммы $Z(t)=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ и оценить математическое ожидание как$\langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

 Временная зависимость состояний $|n(t)\rangle$ полностью определяется уравнением Шредингера $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,$ что соответствует картине Шредингера. Но поскольку ${\hat {V}}(t)$ рассматривается как небольшое возмущение, то удобно использовать представление картины взаимодействия, $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ в низшем нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении даётся выражением $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,$ где по определению для всех t и $t_{0}$, $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

В линейном порядке в ${\hat {V}}(t)$, получим ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ . Таким образом, среднее от ${\hat {A}}(t)$ с точностью до линейного порядка по возмущению равно

${\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}$

Угловые скобки $\langle \rangle _{0}$ означают равновесное среднее по невозмущённому гамильтониану $H_{0}.$ Следовательно, для первого порядка теории возмущения, среднее включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно и происходит в теории возмущений. Это устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для моментов времени $t>t_{0}$.

Вышеприведенное выражение верно для любых операторов. (см. также Вторичное квантование).