Формула Клаузиуса — Моссотти

Фо́рмула Кла́узиуса — Моссо́тти описывает связь статической диэлектрической проницаемости диэлектрика с поляризуемостью составляющих его частиц. Получена независимо друг от друга в 1850 г. Оттавиано Ф. Моссотти и в 1879 г. Рудольфом Ю. Э. Клаузиусом. В случаях, когда вещество состоит из частиц одного сорта, в Гауссовой системе единиц формула имеет вид:

${\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha ,$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость, $N$ — количество частиц в единице объёма, а $\alpha$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент $\alpha$, связывающий напряжённость постоянного электрического поля ${\vec {E}}$, действующего на частицу, с дипольным моментом ${\vec {p}}$, образующимся у частицы под действием этого поля:

${\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}.$

Поскольку предполагается, что поле во времени не изменяется, то его действие способно вызывать смещения частиц как с малой массой — электронов, так и с большой — ионов и атомов. Соответственно, в данном случае поляризуемость включает в себя электронную, ионную и атомную поляризуемости.

Формулу записывают также в виде:

${\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha ,$

где $M$ — молекулярная масса вещества, $\rho$ — его плотность, а $N_{\mathrm {A} }$ — постоянная Авогадро.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями $\alpha _{i}$ и объёмными концентрациями $N_{i}$, то формула принимает вид:

${\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\left[N_{1}\alpha _{1}+N_{2}\alpha _{2}+\cdots +N_{n}\alpha _{n}\right].$

Формула применима только по отношению к неполярным диэлектрикам, то есть к таким, частицы которых собственным дипольным моментом не обладают. Для применимости формулы необходимо также, чтобы диэлектрик был изотропным.

Вывод

Макроскопическую поляризацию ${\vec {P}}$ можно представить как сумму индуцированных дипольных моментов ${\vec {p}}_{\text{ind}}$ в рассматриваемом объеме, деленную на объем (как плотность дипольного момента):

${\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{local}}$

где $N$ - концентрация частиц , $\alpha$ - поляризуемость, ${\vec {E}}_{\text{local}}$ - локальное электрическое поле, действующее на атом или молекулу.

Запишем связь поляризации и среднего макроскопического поля через диэлектрическую восприимчивость $\chi$ и диэлектрическую проницаемость $\varepsilon _{\mathrm {r} }$:

${\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}$

и получим следующее равенство:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{local}}$

Теперь необходимо связать локальное поле со средним.

---

Заметим, что для разреженных газов локальное поле равно внешнему, ${\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}$ , и тогда:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha$

---

Для диэлектрика локальное поле не равно приложенному внешнему полю, поскольку соседние индуцированные диполи также создают электрическое поле.

${\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}}$

${\vec {E}}$: внешнее электрическое поле

${\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0})$: электрическое поле окружения, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца.

Таким образом, локальное поле:

${\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}$

При подстановке в равенство выше:

$\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}$

в итоге получаем формулу Клаузиса-Моссотти:

${\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}$

Обсуждение

Приближённый характер присущ формуле изначально, поскольку приближённой является модель диэлектрика, используемая при её выводе. Действительно, в общем случае нет оснований полагать, что диэлектрик состоит из отдельных частиц с поляризуемостями, присущими им как таковым. Так, в диэлектриках с ковалентными связями электроны могут принадлежать сразу двум атомам. В ионных кристаллах такого обобществления не происходит, но поляризуемости ионов в кристаллах могут существенно отличаться от их поляризуемостей в свободном состоянии.

Точность формулы зависит от агрегатного состояния среды, для описания которой она используется. С наиболее высокой точностью формула справедлива для газов и жидкостей.

Обобщением формулы Клаузиуса — Моссотти на случай полярных диэлектриков, частицы которых обладают дипольным моментом и в отсутствие поля, является формула Ланжевена – Дебая.

В случае оптических частот электромагнитного поля, соответствующих видимому и ультрафиолетовому излучению, смещения ионов и атомов под действием поля происходить не успевают. Поэтому на формирование диэлектрической проницаемости влияют только электронные поляризуемости частиц. Соответственно, в этом случае используется аналог формулы Клаузиуса — Моссотти, справедливый для оптического излучения, — формула Лоренца — Лоренца.

В настоящее время формула Клаузиуса — Моссотти используется не только в её первоначальном виде, формулу продолжают развивать и совершенствовать для повышения точности получаемых результатов и расширения сферы её применения.

См. также

• Формула Лоренца — Лоренца

Ссылки

• А.П. Александров и др. Физика диэлектриков под редакцией проф. А.Ф. Вальтера .ГТТИ , Ленинград 1932 Москва.