Формальный язык

Не следует путать с формальным стилем речи.

Форма́льный язы́к в математической логике, информатике и лингвистике — множество конечных слов (строк, цепочек) над конечным алфавитом. Понятие языка чаще всего используется в теории автоматов, теории вычислимости и теории алгоритмов. Научная теория, которая имеет дело с этим объектом, называется теорией формальных языков.

Синтаксическое подразделение в рамках формальной системы.

В теории моделей язык строится из множеств символов, функций и отношений вместе с их арностью, а также множества переменных. Каждое из этих множеств может быть бесконечным. Из языка вместе с универсальными логическими символами составляются логические высказывания.

Определение

Формальный язык может быть определён по-разному, например:

• Простым перечислением слов, входящих в данный язык. Этот способ, в основном, применим для определения конечных языков и языков простой структуры.
• Словами, порождёнными некоторой формальной грамматикой (см. иерархия Хомского).
• Словами, порождёнными регулярным выражением.
• Словами, распознаваемыми некоторым конечным автоматом.
• Словами, порождёнными БНФ-конструкцией.

Например, если алфавит задан как $\{a,b\}$, а язык $L$ включает в себя все слова над ним, то слово $ababba$ принадлежит $L$. Пустое слово (то есть строка нулевой длины) допускается и часто обозначается как $e$, $\epsilon$ или $\Lambda$.

Некоторые другие примеры формальных языков:

• множество $\{a^{n}\}$, где $n$ — неотрицательное число, а $a^{n}$ означает, что $a$ повторяется $n$ раз;
• множество синтаксически корректных программ в данном языке программирования.

Операции

Некоторые операции могут быть использованы для того, чтобы порождать новые языки из данных. Предположим, что $L_{1}$ и $L_{2}$ являются языками, определёнными над некоторым общим алфавитом.

• Конкатенация (сцепление) $L_{1}L_{2}$ содержит все слова, удовлетворяющие форме $vw$, где $v$ — это слово из $L_{1}$, а $w$ — слово из $L_{2}$.
• Пересечение $L_{1}\cap L_{2}$ содержит все слова, содержащиеся и в $L_{1}$, и в $L_{2}$.
• Объединение $L_{1}\cup L_{2}$ содержит все слова, содержащиеся в $L_{1}$ или в $L_{2}$.
• Дополнение языка $L_{1}$ содержит все слова алфавита, которые не содержатся в $L_{1}$.
• Правое отношение $L_{1}/L_{2}$ содержит все слова $v$, для которых существует слово $w$ в $L_{2}$ такое, что $vw$ находилось в $L_{1}$.
• Замыкание Клини $L_{1}^{*}$ содержит все слова, которые могут быть записаны в форме $w_{1}w_{2}...w_{n}$, где $w_{i}$ содержится в $L_{1}$ и $n\geq 0$. Следует помнить, что это включает и пустое слово $\epsilon$, так как $n=0$ допустимо по условию.
• Обращение $L_{1}^{R}$ содержит обращённые слова из $L_{1}$.
• Смешение $L_{1}$ и $L_{2}$ содержит все слова, которые могут быть записаны в форме $v_{1}w_{1}v_{2}w_{2}...v_{n}w_{n}$, где $n\geq 1$ и $v_{1},...,v_{n}$ являются такими словами, что связь $v_{1}...v_{n}$ находится в $L_{1}$, а $w_{1},...,w_{n}$ являются такими словами, что $w_{1}...w_{n}$ находятся в $L_{2}$.

История

В XVII веке Готфрид Лейбниц представил и описал идею о «characteristica universalis» — универсальном и формальном языке, использующем пиктограммы. В этот период Карл Фридрих Гаусс также занимался проблемой нотацией Гаусса.

Готлоб Фреге попытался воплотить идеи Лейбница в системе обозначений, которая была впервые описана в его работе «Begriffsschrift» (1879) и более полно разработана в двухтомнике «Grundgesetze der Arithmetik» (1893/1903). Эта система описывала «формальный язык чистой логики».

В первой половине XX века были сделаны несколько разработок, имеющих отношение к формальным языкам. Аксель Туэ опубликовал четыре статьи, связанные с понятиями слов и языка, между 1906 и 1914 годами. В последней из них были представлены теории, которые Эмиль Пост позже назвал системами Туэ, и дал первый пример неразрешимой проблемы — проблемы равенства для полугрупп. Пост позже использовал эту статью в своем доказательстве в 1947 году «о том, что проблема слов для полугрупп является рекурсивно неразрешимой», а также разработал каноническую систему для создания формальных языков.

Ноам Хомский создал абстрактное представление формальных и естественных языков, известное как иерархия Хомского. В 1959 году Джон Бэкус разработал форму для описания синтаксиса языка программирования высокого уровня на основе своей работы по созданию Фортрана. Питер Наур был редактором «Доклада об алгоритмическом языке Алгол 60», в котором он использовал форму Бэкуса — Наура для описания формальной части Алгола 60.

См. также

• Формальная семантика

Литература

• Гладкий А. В. Формальные грамматики и языки. — М.: Наука, 1973. — 368 с.
• Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. — М.: Вильямс, 2002 (пер. издания Addison Wesley). — 528 с. — ISBN 5-8459-0261-4
• Кревский И. Г., Селивёрстов М. Н., Григорьева К. В. Формальные языки, грамматики и основы построения трансляторов: Учебное пособие / Под ред. А. М. Бершадского. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2002. — 124 с.
• Мартыненко Б. К. Языки и трансляции: Учебное пособие. — СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. — 235 с.
• Серебряков В. А., Галочкин М. П., Гончар Д. Р., Фуругян М. Г. Теория и реализация языков программирования — М.: МЗ-Пресс, 2006 г., 2-е изд. — ISBN 5-94073-094-9
• Пентус А. Е., Пентус М. Р. Математическая теория формальных языков. — М.: Интернет-университет информационных технологий, Бином. Лаборатория знаний, 2006. — 248 с.
• Фомичёв В. С. Формальные языки, грамматики и автоматы: Курс лекций — Интернет-публикация, 2006.
• Б. В. Бирюков. Формализованный язык // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.
• Формальные грамматики и языки. Элементы теории трансляции. Учеб. пос. для студ. 2-го курса. / И. А. Волкова, А. А. Вылиток, Т. В. Руденко. М.: ВМК МГУ, 2009 (на портале ВМК МГУ).