Факторион

Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов

• $1=1!$
• $2=2!$
• $145=1!+4!+5!$
• $40585=4!+0!+5!+8!+5!$

Верхняя граница

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше $\;10^{n-1}$. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше $9!\cdot n$, где $\;9!=362880$. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже $10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040$. Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения

В других системах счисления

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:

Основание	Максимальное кол-во цифр	Факторионы
2	2	1, 10
3	2	1, 2
4	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	4	1, 2, 41, 42
7	5	1, 2
8	5	1, 2
9	6	1, 2, 62558
10	7	1, 2, 145, 40585
11	8	1, 2, 24, 44, 28453
12	8	1, 2
13	9	1, 2, 83790C5B
14	10	1, 2, 8B0DD409C
15	11	1, 2, 661, 662
16	11	1, 2, 260F3B66BF9

k-факторионы

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

1. k=2: 817926
2. k=3: 138267, 1103790
3. k=4: 12, 32, 104, 23076
4. k=5: 10
5. k=6: 4614, 484284
6. k=7: 21, 283150
7. k=8: 224, 322840, 368712
8. k=9: 441
9. k=10: 14660, 813680, 3729700
10. k=11: 341
11. k=12: Не существует.

Обобщения Пиковера

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

1. Факторион второго рода — равен произведению факториалов своих цифр, например: abc = a!⋅b!⋅c!
2. Факторион третьего рода — равен сумме факториалов чисел, образованных группами цифр, например: abc = (ab)! + c!

Оригинальный текст (англ.)

A more fruitful avenue of research may be the search for factorions "of the second kind," which are formed by the product of the factorial values for each of their digits. Additionally, hypothetical factorions "of the third kind" are formed by grouping digits.

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы второго рода в десятичной системе только вырожденные (1 и 2), найдено несколько факторионов третьего рода (жирным шрифтом выделены группы цифр):

• 2 432 902 008 177 819 519
• 51 090 942 171 710 544 079
• 51 090 942 171 710 982 398
• 403 291 461 126 605 635 584 809 043
• 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

Литература

• Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
• Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
• Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
• С. Л. Василенко. Числовые совпадения. — 2012.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Факторион (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A014080 в OEIS