Эквивалентность этих предложений следует понимать в том смысле, что любого из них, вместе с системой аксиом Цермело — Френкеля (ZF) для теории множеств достаточно, чтобы доказать остальные.
Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент.
Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то всякий элемент из подчинен некоторому максимальному.
Пусть семейство множеств обладает тем свойством, что объединение любой цепи множеств из есть снова множество этого семейства. Тогда содержит максимальное множество.
В любом частично упорядоченном множестве существует максимальное линейно упорядоченное подмножество
В частично упорядоченном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи.
Будем доказывать эквивалентность этих предложений по следующей схеме:
Ясно, что следует из , поскольку в утверждается большее: существует максимальный элемент, больший заданного . Обратно, пусть — частично упорядоченное множество, в котором всякая цепь имеет верхнюю грань, и пусть . Применим к множеству . Его максимальный элемент также является и максимальным элементом , и кроме того, удовлетворяет условию .
Семейство множеств частично упорядочено по теоретико-множественному отношению включения . Любая цепь множеств имеет верхнюю грань — ей является множество , которое по предположению принадлежит системе . В силу в семействе есть максимальный элемент, то есть максимальное по включению множество.
Пусть — частично упорядоченное множество, — цепь в , — множество всех цепей в , содержащих , упорядоченных по отношению включения. Существование максимальной цепи, содержащей теперь вытекает из , применительно к , и того факта, что объединение всех множеств цепи в («цепи цепей»), снова есть множество из .
Очевидно. — частный случай , когда исходная цепь — пустое множество .
Пусть — частично упорядоченное множество в условии . Рассмотрим максимальную цепь в , существование которой вытекает из . По условию эта цепь имеет верхнюю грань . Тогда является максимальным элементом , и кроме того, принадлежит цепи. Предположив противное, мы придем к противоречию с условием максимальности .
Эти рассуждения доказывают эквивалентность принципа максимума Хаусдорфа и леммы Цорна.
Пусть — произвольное данное множество. Покажем, что его можно вполне упорядочить.
Рассмотрим совокупность всех пар , где , а — отношение полного порядка на . На множестве введем естественное отношение порядка: следует за , если есть начальный отрезок, то есть если для некоторого и на множестве отношения совпадает с .
Далее докажем два утверждения.
I. В существует максимальный элемент.
Это следует из и того факта, что если — цепь в , то объединение всех элементов есть также элемент , который является верхней гранью цепи .
II. Если — максимальный элемент, то . Если бы было непусто, то взяв какой-нибудь элемент , и положив для любого , мы получили бы вполне упорядоченное множество , начальным отрезком которого является . Это противоречит предположению о максимальности .
Таким образом, мы имеем вполне упорядоченное множество . Что и требовалось доказать.
Пусть — частично упорядоченное множество. В силу теоремы Цермело множество можно вполне упорядочить. Пусть — отношение вполнеупорядочивания на .
Определим разбиение множества на два подмножества и индукцией по вполне упорядоченному множеству (такой способ также называется транфинитной рекурсией).
Пусть и все элементы уже отнесены либо к , либо к . Отнесем к , если он сравним со всеми элементами ; в противном случае отнесем его к .
Проводя таким образом индуктивное построение по вполне упорядоченному множеству мы получим множества и . Как видно из построения — цепь в . Кроме того ясно что она является максимальной. Таким образом, мы доказали принцип максимума Хаусдорфа.
