Устойчивость (динамические системы)

Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

Определения

Пусть $\Omega$ — область фазового пространства $\mathbb {R} ^{n}$, $I=[\tau ;\infty )$, где $\tau \in \mathbb {R}$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

${\dot {x}}=f(t,x),$ (1)

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$, функция $f$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по $x$ в области $I\times \Omega$.

При этих условиях для любых $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ существует единственное решение $x(t,t_{0},x_{0})$ системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$. Выделим некоторое решение $\varphi (t)$, определённое на интервале $J^{+}=[t_{0};\infty )$, таком, что $J^{+}\subset I$ и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение $\varphi (t)$ системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых $t_{0}>\tau$ и $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, зависящее только от $\varepsilon$ и $t_{0}$ и не зависящее от $t$, такое, что для всякого $x_{0}$, для которого $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$, решение $x$ системы (1) с начальными условиями $x(t_{0})=x_{0}$ продолжается на всю полуось $J^{+}$ и для любого $t\in J^{+}$ удовлетворяет неравенству $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$.

Символически это записывается так:

$\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .$

Невозмущённое решение $\varphi (t)$ системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

$\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .$

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение $\varphi (t)$ системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если $\delta$ из предыдущего определения зависит только от $\varepsilon$:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .$

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение $\varphi (t)$ системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ для любого решения $x(t)$ с начальными данными $x_{0}$, для которых выполняется неравенство $||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0}$ при некотором $\delta _{0}$.

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости. Невозмущённое решение $\varphi (t)$ системы (1) называется:

• эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ($x(t)$ не зависит от $x_{0}$).
• равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ($x(t)$ не зависит от $t_{0}$и $x_{0}$).
• асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на $x_{0}$).
• равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение $x(t)\equiv 0$, что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену $y=x-\varphi$ и рассматривать систему

${\dot {y}}=g(t,y),$

где $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Литература

• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений (рус.). — М.: Издательство иностранной литературы, 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения (рус.). — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (рус.). — М.: Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения (рус.). — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости (рус.). — М.: Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р.. Математическая теория конструирования систем управления (рус.). — 3-е изд., испр. и доп.. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
• Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М.. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.

См. также

• Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
• Функция Ляпунова