Уравнение Льенара

Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара.

Определение

Пусть $f$ и $g$ — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём $g$ — нечётная функция, а $f$ — чётная. Тогда уравнение вида

${d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0$

называется уравнением Льенара.

Кроме того, уравнение Льенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену $v={dx \over dt}$. Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: $v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0$

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля ${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$ имеет вид уравнения Льенара при $\left\{{\begin{matrix}f(x)=\mu (1-x^{2})\\g(x)=x\end{matrix}}\right.$.

Связанные определения

Система Льенара

Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

$F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi$;

$x_{1}:=x$;

$x_{2}:={dx \over dt}+F(x)$.

Тогда система вида

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}$

называется системой Льенара.

Теорема Льенара

Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• $g(x)>0$ для всех $x>0$;
• $\lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;$
• $F(x)$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра $p$, причём

$F(x)<0$ при $0<x<p$ и

$F(x)>0$ и монотонна при $x>p$.

См. также

• Осциллятор