Убывающие и возрастающие факториалы

Убывающий факториал (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториал) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

$(x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$

Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен Похгаммера, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториал) определяется как

$x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).$

Значение обоих факториалов принимается равным 1 (пустое произведение) для n = 0.

Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение $(x)_{n}$, где $n$ — неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение $(x)_{n}$ с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента ${\binom {x}{n}}$.

В данной статье символ $(x)_{n}$ используется для представления убывающего факториала, а символ $x^{(n)}$ — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторике. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера $(x)_{n}$ используется для представления возрастающего факториала Полезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси Слейтер. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы

Если x — неотрицательное целое число, то $(x)_{n}$ даёт число n-перестановок x-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с n элементами в множество размера x. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как $_{x}P_{n}$ и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда x является неизвестной величиной, и в этом случае $(x)_{n}$ означает определённый многочлен от x степени n.

Примеры

Несколько первых возрастающих факториалов:

$x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1$

$x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x$

$x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x$

$x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x$

$x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x$

Несколько первых убывающих факториалов:

$(x)_{0}=x^{\underline {0}}=1$

$(x)_{1}=x^{\underline {1}}=x$

$(x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x$

$(x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x$

$(x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x$

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

${\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}$ и ${\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.$

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

$x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},$

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

$x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.$

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x может быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения n с помощью гамма-функции:

$x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},$

и таким же образом убывающий факториал:

$(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.$

Если обозначить через D взятие производной от x, получим

$D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.$

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}$

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение ${(a)}_{n}$.

Связь с теневым исчислением

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности $\vartriangle$ и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал $(x)_{k}$ при вычислении конечных разностей играет роль $x^{k}$ при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

$\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},$

на

$Dx^{k}=k\ x^{k-1},$

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление». Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа и последовательностей Шеффера. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

$(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}$

$(a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}$

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

$\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}~,$

так как $\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$.

Коэффициенты связи и тождества

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной $x$, используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь ${\binom {r}{k}}=r^{\underline {k}}/k!$):

${\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}={\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n}}}}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)^{\underline {n-k}}\times x^{\underline {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {-n}}}}\\&={\binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {n-k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}(x)_{k}.\end{aligned}}$

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

$(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_{m+n-k}.$

Коэффициенты при $(x)_{m+n-k}$ называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить k элементов из множества из m элементов и множества из n элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

${\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}&=(x-i)_{n-i},\ n\geq i\\{\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}&=(x+i)^{(n-i)},\ n\geq i.\\\end{aligned}}$

Кроме того, с помощью следующих тождеств:

${\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\\end{aligned}}$

возрастающие и убывающие факториалы могут быть обобщёны для отрицательных порядков:

${\begin{aligned}x^{(-n)}&={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{n!{\binom {x-1}{n}}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{n!{\binom {x+n}{n}}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}.\\\end{aligned}}$

Наконец, формула удвоения и формулы умножения для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

$(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+k}{m}}\right)_{n},\ m\in \mathbb {N}$

$(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x}}\right)_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}$

$(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.$

Альтернативные обозначения

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

$x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }$ для целого $m\geq 0,$

И для убывающего факториала

$x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }$ для целого $m\geq 0;$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. Грэм, Кнут и Паташник предложили произносить это выражение как "повышение x на m" и "понижение x на m" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают $P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n}$ или $_{x}P_{n}$. (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение $(x)_{n}^{+}$ для возрастающего факториала $x^{(n)}$ употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение $(x)_{n}^{+}$ для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение $(x)_{n}^{-}$.

Обобщения

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую обобщённым символом Похгаммера, и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

$[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),$.

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

$[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны $[x]^{\tfrac {k}{1}}$ и $[x]^{\tfrac {k}{-1}}$ соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ и символических параметров $x,t$, связанные обобщённые произведения вида

$(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)$

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при $x$ в разложении $(x)_{n,f,t}$, а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

${\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}$

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами $F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r}$.

См. также

• k-символ Похгаммера
• Тождество Вандермонда

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Elementary Proofs