Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире^[1], Индии^[2], Китае, Германии и Италии^[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел^[4].

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля^[5]^[6]^[7]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (перс. مثلث خیام‎). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Халаюдхи^[англ.] к трудам другого математика, Пингалы^{[неавторитетный источник]}^[8]. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (кит. 杨辉三角; 楊輝三角).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета^[нем.], также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году^[9] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[10], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (фр. table de M. Pascal pour les combinaisons), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (лат. Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM), что стало основой современного западного названия^[11].

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\binom {n}{k}}$ или $C_{n}^{k}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»^[4].

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
- первое и последнее числа равны 1;
- второе и предпоследнее числа равны n;
- третье число равно треугольному числу $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}$ , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
- четвёртое число является тетраэдрическим;
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту $C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$ .
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^{n}$ .
Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом^[12] (следствие теоремы Люка).
Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Выборочное вычисление значений ряда или диагонали

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчета всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.

Чтобы рассчитать ряд $n$ с элементами ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ , начните с ${\tbinom {n}{0}}=1$ . Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:

{n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.

Например, для расчета значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения ${\tfrac {5}{1}}$ , ${\tfrac {4}{2}}$ , ${\tfrac {3}{3}}$ , ${\tfrac {2}{4}}$ и ${\tfrac {1}{5}}$ , и следовательно элементы ряда ${\tbinom {5}{0}}=1$ , ${\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5$ , ${\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10$ , и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)

Для расчета элементов диагоналей ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,$ начните снова с ${\tbinom {n}{0}}=1$ и получите последующие элементы путем умножения на определенные дроби:

{n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.

Например, для расчета диагонали начиная с ${\tbinom {5}{0}}$ , дроби будут следующими ${\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots$ , и следовательно элементы получатся ${\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21$ , и так далее. По симметрии эти элементы равны ${\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}$ , и так далее.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер^[13]

См. также

Примечания

↑ J. L. Coolidge. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949-03. — Т. 56, вып. 3. — С. 147. — doi:10.2307/2305028.
↑ Helen M. Johnson, Maurice Winternitz, S. Ketkar, H. Kohn. A History of Indian Literature. Vol. II. Buddhist Literature and Jain Literature // Journal of the American Oriental Society. — 1936-09. — Т. 56, вып. 3. — С. 371. — ISSN 0003-0279. — doi:10.2307/593985.
↑ Cambridge University Library: the great collections / Peter Fox. — Cambridge, UK ; New York: Cambridge University Press, 1998. — 231 с. — ISBN 978-0-521-62636-1, 978-0-521-62647-7.
↑ ¹ ² Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
↑ Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures : [англ.]. — Springer Science & Business Media, 2008-03-12. — P. 132. — ISBN 9781402045592.
↑ The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"
↑ Sidoli, Nathan. From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren : [англ.] / Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen. — Springer Science & Business Media, 2013-10-30. — P. 54. — ISBN 9783642367366.
↑ Pisipati S. S. The knpwn srcret
↑ О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109. Архивировано 29 октября 2013 года.
↑ Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10. Архивировано 21 апреля 2010 года.
↑ Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1—17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. See in particular p. 11.
↑ Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Литература

Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Построение треугольника Паскаля

[1] J. L. Coolidge. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949-03. — Т. 56, вып. 3. — С. 147. — doi:10.2307/2305028.

[2] Helen M. Johnson, Maurice Winternitz, S. Ketkar, H. Kohn. A History of Indian Literature. Vol. II. Buddhist Literature and Jain Literature // Journal of the American Oriental Society. — 1936-09. — Т. 56, вып. 3. — С. 371. — ISSN 0003-0279. — doi:10.2307/593985.

[3] Cambridge University Library: the great collections / Peter Fox. — Cambridge, UK ; New York: Cambridge University Press, 1998. — 231 с. — ISBN 978-0-521-62636-1, 978-0-521-62647-7.

[_0d03cead6ed18a91-4] ¹ ² Энциклопедический словарь юного математика, 1985.

[5] Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures : [англ.]. — Springer Science & Business Media, 2008-03-12. — P. 132. — ISBN 9781402045592.

[6] The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"

[7] Sidoli, Nathan. From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren : [англ.] / Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen. — Springer Science & Business Media, 2013-10-30. — P. 54. — ISBN 9783642367366.

[8] Pisipati S. S. The knpwn srcret

[mem-9] О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109. Архивировано 29 октября 2013 года.

[10] Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10. Архивировано 21 апреля 2010 года.

[11] Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1—17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. See in particular p. 11.

[mathworld-12] Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[13] Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]