Третья квадратичная форма

Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается $\mathbf {I\!I\!I}$ .

Определение

Пусть $S$ обозначает оператор формы гладкой поверхности $\Sigma$ . Кроме того, пусть $u$ и $v$ — элементы касательного пространства $T_{p}$ в точке $p\in \Sigma$ . Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .

Свойства

Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.
$\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$

где

H

— средняя кривизна поверхности и

K

— гауссова кривизна поверхности.

Поскольку оператор формы самосопряжён, для $u,v\in T_{p}(M)$ мы имеем
$\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle$ .

См. также