Толерантный интервал

Толерантный интервал — термин, используемый в математической статистике при определении на основе выборочных данных интервала, который при заданном доверительным уровне содержит заданную вероятностную меру неизвестной функции распределения.

Понятия толерантного и доверительного интервалов близки друг к другу.

Толерантный интервал является интервалом в выборочном пространстве наблюденных случайных величин. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы при заданном доверительном уровне содержать вероятностную меру статистического распределения, не меньшую заданного уровня.^[1]

Доверительный интервал определяется для некоторого параметра функции распределения и является интервалом в параметрическом пространстве. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы вероятность того, что он содержит истинное значение неизвестного параметра была не меньше доверительного уровня.^[1]

Определение

Пусть случайная величина $Y$ не зависит от $X$ и имеет функцию распределения $F_{\theta }$ . Толерантным интервалом $(\beta ,\gamma )$ с мерой $\beta$ и уровнем доверия $\gamma$ называется интервал $\left[L_{1,\beta ,\gamma }(X),L_{2,\beta ,\gamma }(X)\right]$ , для которого выполняется условие $P_{\theta }\left\{P_{\theta }\left\{L_{1,\beta ,\gamma }(X)\leqslant Y\leqslant L_{2,\beta ,\gamma }(X)|X\right\}\geqslant \beta \right\}\geqslant \gamma$ для всех значений параметра $\theta$ .^[2]

Пояснения

Пусть $\xi$ - квантиль функции распределения $F_{\theta }$ обозначается как $F^{-1}(\xi ;\theta )$ . По определению имеем $P_{\theta }\left\{F^{-1}(\xi _{1};\theta )\leqslant X\leqslant F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right\}\geqslant \xi _{2}-\xi _{1}$ . Интервалом меры $\beta$ функции распределения $F_{\theta }$ называется интервал $\left[F^{-1}(\xi _{1};\theta ),F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right]$ , если $\beta =\xi _{2}-\xi _{1}$ .^[3]