Теория оценивания

Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями. Теория оценивания применяется в приборах для физических и других измерений, при моделировании физических, экономических, биологических и других процессов.

Параметрический подход

Постановка задачи

Пусть данные наблюдения $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ являются случайными величинами с совместной плотностью распределения вероятностей $P(x\mid \lambda )$, зависящей от информативных параметров $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m}$ с неизвестными значениями: $P(x\mid \lambda )=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}\mid \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m})$. Задача оценивания заключается в нахождении оценок информативных параметров ${\hat {\lambda }}=({\hat {\lambda _{1}}},{\hat {\lambda _{2}}},...,{\hat {\lambda _{m}}})$ в виде функций, задающих стратегии нахождения оценок по наблюдениям: ${\hat {\lambda _{j}}}={\hat {\lambda _{j}}}(x),j=1,2,...,m$.

Байесовский подход

Оцениваемые параметры являются случайными величинами с совместной предварительно известной априорной плотностью вероятности $z(\lambda )$. Для минимизации ошибок оценивания вводится функция потерь $g({\hat {\lambda }},\lambda )$, зависящая от оценок ${\hat {\lambda }}$ и истинных значений $\lambda$ оцениваемых параметров. В этом случае целью является минимизация математического ожидания функции потерь - среднего риска: $R({\hat {\lambda }})=\int g({\hat {\lambda }},\lambda )\varphi ({\hat {\lambda }}\mid x)P(x\mid \lambda )z(\lambda )dxd\lambda d{\hat {\lambda }}$ . Здесь $\varphi ({\hat {\lambda }}\mid x)$ - условная плотность вероятности принятия решения об оценке ${\hat {\lambda }}$ при данных наблюдения $x$.

Непараметрический подход

В этом случае класс вероятностных распределений не может быть описан с помощью конечного числа параметров. В этом случае оптимальные оценки определяются как функционалы от распределений вероятностей наблюдения.

Примеры

• В радиолокаторе для определения расстояния до объекта необходимо оценить промежуток времени между моментами передачи и приема радиолокационного сигнала, отраженного от объекта наблюдения. В этом случае информативными параметрами являются амплитуда, частота, временной сдвиг относительно выбранного момента времени. Эти параметры желательно оценить с минимальной ошибкой.

Литература

• Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Советское радио, 1977. — 432 с.
• Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. — М.: Наука, 1997. — 336 с. — ISBN 5-02-015217.
• Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.