Теория изгиба балок Тимошенко

Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века.^[1]^[2] Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.

Если модуль сдвига материала балки положить равным бесконечности (и следовательно запретить балке испытывать сдвиговые деформации) и если пренебречь эффектами инерции на вращение, то модель Тимошенко сводится к обычной теории изгиба балки.

Квазистатическая балка Тимошенко

Сравнение деформации балки по Тимошенко (синий цвет) с деформацией по теории Эйлера-Бернулли (красный цвет).

Деформация балки по Тимошенко. Нормаль поворачивается на угол

\theta _{x}=\varphi (x)

, который не равен

dw/dx

.

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов смещение балки предполагается заданным в следующем виде: $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)$ где $(x,y,z)$ задают координаты точки на балке, $u_{x},u_{y},u_{z}$ — компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, $\varphi$ — есть угол вращения нормали по отношению срединной поверхности балки и $w$ — смещение срединной поверхности в направлении оси $z$ .

Исходными уравнениями является следующая пара связанных обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}

В статическом пределе теория изгиба балки Тимошенко эквивалентна теории изгиба балок Эйлера-Бернулли в случае, когда последним слагаемым можно пренебречь. Это приближение справедливо когда: ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$ где

$L$ — длина балки.
$A$ — площадь сечения балки.
$E$ — модуль упругости.
$G$ — модуль сдвига.
$I$ — второй момент площади сечения.
$\kappa$ называется сдвиговым коэффициентом Тимошенко и зависит от формы сечения балки. Для балки прямоугольного сечения $\kappa =5/6$ .
$q(x)$ — распределение нагрузки (сила приложенная к единице длины).

Комбинируя эти два уравнения получаем в случае однородной балки постоянного сечения: $EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Изгибающий момент $M_{xx}$ и сдвиговая сила $Q_{x}$ в балке связаны со смещением $w$ и вращением $\varphi$ . В случае линейной упругой балки Тимошенко эти связи имеют следующий вид:

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{и}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.$

Вывод квазистатических уравнений изгиба балок по Тимошенко

Из кинематических предположений для балки Тимошенко смещение балки даётся:

$u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)$ Далее, в случае малых деформаций в рамках предположений Тимошенко можно написать: $\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Поскольку реальные сдвиговые деформации балки непостоянны в пределах сечения, введём корректирующий фактор $\kappa$ такой, что: $\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$

Изменение внутренней энергии балки можно записать в виде:

$\delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L$

Зададим:

$M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A$

Тогда:

$\delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L$

Интегрируя по частям и замечая, что граничные условия обращают изменение энергии на концах балки в нуль, пишем:

$\delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L$

Изменение внешней работы, совершенной над балкой поперечной нагрузкой $q(x,t)$ на единицу длины, равно:

$\delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L$

Тогда для квазистатичной балки принцип виртуальной работы дает:

$\delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0$

Исходные уравнения для балки исходя из фундаментальной теоремы вариационного исчисления обретают вид:

${\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0$

Для линейной упругой балки:

${\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Следовательно, основные уравнения для балки могут быть записаны в виде:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}$

Комбинируя вместе два уравнения, получаем:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Краевые (граничные) условия

Два уравнения, которые описывают деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены краевыми (граничными) условиями. Корректно поставленная задача требует задания четырех граничных условий. Обычно граничными условиями являются:

Двухопорные балки: Смещение $w$ задается равным нулю в местах расположения двух опор. Также нужно задать изгибающий момент $M_{xx}$ , приложенный к балке. Вращение $\varphi$ и поперечная сдвиговая сила $Q_{x}$ не заданы.
Жёстко защемлённая балка (консоль): Смещение $w$ и вращение $\varphi$ задаются равными нулю в месте защемленного конца балки. Если один из концов балки свободен, то сдвиговая сила $Q_{x}$ и изгибающий момент $M_{xx}$ необходимо задать для этого конца.

Пример: Жестко защемленная балка

Жестко защемленная балка Тимошенко со свободным концом при точечной нагрузке

Для жестко защемленной балки один конец защемлен, а другой остается свободным. Будем использовать правовинтовую систему координат, в которой направление оси $x$ считается положительным в направлении вправо, а направление оси $z$ положительно в направлении вверх. Следуя традиционным соглашениям мы предположим, что положительные значения сил направлены в положительном направлении осей $x$ и $z$ , а положительные изгибающие моменты действуют по часовой стрелке. Также предположим следующее соглашение о знаках компонент механических напряжений ( $M_{xx}$ и $Q_{x}$ ): положительные изгибающие моменты сжимают материал балки внизу (меньшие значения координат $z$ ), положительные сдвиговые силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что защемленный конец балки имеет координату $x=L$ ,а свободный конец — $x=0$ . Если точечная нагрузка $P$ приложена к свободному концу в положительном направлении оси $z$ , то условие равновесия системы сходящихся сил балки дает нам

-Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px

и

P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.

Следовательно, из выражений для изгибного момента и сдвиговой силы получаем

Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{и}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.

Интегрируя первое уравнение и применяя граничное условие $\varphi =0$ при $x=L$ приходим к

\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.

Второе уравнение может быть переписано в виде

{\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.

Интегрируя и применяя граничное условие $w=0$ при $x=L$ пишем

w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.

Осевое напряжение дается тогда выражением

\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.

Динамика балки Тимошенко

В теории изгиба балки Тимошенко без осевых эффектов отклонение балки предполагается заданным в виде

u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

где $(x,y,z)$ — координаты точки балки, $u_{x},u_{y},u_{z}$ — компоненты вектора отклонения в трех координатных направлениях, $\varphi$ — угол вращения нормали по отношению к срединной поверхности балки и $w$ — отклонение срединной поверхности в направлении оси $z$ .

Учитывая вышесказанное предположение теория изгиба балки Тимошенко (с допущением колебаний) может быть описано парой линейных уравнений в частных производных:^[3]

\rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]

\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)

где искомыми величинами являются $w(x,t)$ (отклонение балки) и $\varphi (x,t)$ (угловое отклонение). Заметим, что в отличие от теории изгиба балок Эйлера-Бернулли угловое отклонение является отдельной переменной, а не приближается наклоном отклонения. Кроме того,

$\rho$ — плотность материала балки (не линейная плотность).
$A$ — площадь сечения балки.
$E$ — модуль упругости.
$G$ — модуль сдвига.
$I$ — второй момент площади сечения.
$\kappa$ — называется коэффициентом сдвига Тимошенко, который зависит от формы балки. Для прямоугольного сечения балки $\kappa =5/6$ .
$q(x,t)$ — распределенная нагрузка (сила приложенная к единице длины).
$m:=\rho A$
$J:=\rho I$

Эти параметры не обязательно постоянные.

Дли линейной упругой изотропной однородной балки постоянного сечения эти два уравнения можно скомбинировть в следующее уравнение^[4]^[5]

EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}

Вывод комбинированного уравнения изгиба балки Тимошенко

Уравнения, которым подчиняется изгиб однородной балки постоянного сечения по Тимошенко, имеют вид

{\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}

Из уравнения (1) (предполагая достаточную гладкость) получаем

{\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {q}{\kappa AG}}\\(4)&&\quad {\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}&=m~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}-\kappa AG~\left({\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}-{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}\right)\end{aligned}}

Из уравнения (3) (опять же при достаточной гладкости) можно написать

(5)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}

Дифференцируя уравнение (2) получаем

(6)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)

Из уравнений (4) и (6) пишем

(7)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)

Из уравнений (3) и (7) получаем

(8)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {m}{J}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {q}{J}}

Подставляя уравнение (5) в уравнение (8) получаем

(9)\qquad {\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+J~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}=-{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q

Преобразуя это уравнение получаем

EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\quad \square

Уравнение Тимошенко предсказывает наличие критической частоты $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.$ Для нормальных мод уравнение Тимошенко может быть решено. Поскольку это уравнение четвертого порядка, то у него существует четыре независимых решения, два осцилляторных и два быстро затухающих при частоте ниже $f_{c}$ . Для частот выше $f_{c}$ все решения осцилляторны и, как следствие этого, возникает второй спектр.^[6]

Осевые эффекты

Если отклонение балки задается в виде

u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

где $u_{0}$ есть дополнительное отклонение в направлении оси $x$ , тогда основное уравнение изгиба балки по Тимошенко обретает вид

{\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}

где $J=\rho I$ и $N(x,t)$ приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается напряжением деформации

N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz

где $\sigma _{xx}$ — осевое напряжение. Толщина балки здесь считается равной $2h$ .

Комбинированное уравнение изгиба балки с учетом осевой силы имеет вид

EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}

Затухание (демпфирование)

Если, помимо учета осевых сил, мы предположим также наличие демпфирующей силы, которая пропорциональна скорости в виде

\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}

то связанные основные уравнения изгиба балки Тимошенко становятся равными

m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t),

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right),$ а комбинированное уравнение приобретает вид

{\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}

Подобный анзац для демпфирующей силы (похожий на силу вязкости) несколько нереалистичен поскольку вязкость приводит к независящей от частоты амплитудно-зависимой скорости затухания колебаний балки, тогда как эмпирические измерения показывают, что затухание слабо зависит от частоты и сильно зависит от амплитуды отклонения балки.

Коэффициент сдвига

Определить коэффициента сдвига не так-то просто, к тому же неоднозначно (существует несколько способов его определения). В целом он должен удовлетворять условию:

\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,

.

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона. Попытки получить точное выражение для него предпринимались многими учёными, включая Степана Прокофьевича Тимошенко,^[7] Raymond D. Mindlin,^[8] G. R. Cowper,^[9] N. G. Stephen,^[10] J. R. Hutchinson^[11] и другими (см. также вывод уравнений изгиба балки Тимошенко с помощью теории изгиба балки основанной на вариационном-асимптотическом методе в книге Khanh C. Le^[12] который приводит к различным сдвиговым коэффициентам в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражений Тимошенко^[13] вполне достаточно в большинстве случаев. В 1975 году Kaneko^[14] опубликовал весьма хороший обзор по коэффициенту сдвига. Позднее новые экспериментальные данные показали, что коэффициент сдвига недооценивается.^[15]^[16]

Согласно работе Cowper 1966 года для цельного прямоугольного сечения балки

\kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}

и для цельной балки круглого сечения

\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}

.

См. также

Литература

↑ Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
↑ Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.
↑ Timoshenko’s Beam Equations (неопр.). Дата обращения: 5 января 2019. Архивировано 15 октября 2007 года.
↑ Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications, second edition. Prentice-Hall, New Jersey.
↑ Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko’s correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461—1466.
↑ «Experimental study of the Timoshenko beam theory predictions», A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, R.A. Méndez-Sánchez, G. Monsivais, and A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Volume 331, Issue 26, 17 December 2012, pp. 5732-5744.
↑ Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik, Julius Springer.
↑ Mindlin, R. D., Deresiewicz, H., 1953, Timoshenko’s Shear Coefficient for Flexural Vibrations of Beams, Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, N.Y.
↑ Cowper, G. R., 1966, «The Shear Coefficient in Timoshenko’s Beam Theory», J. Appl. Mech., Vol. 33, No.2, pp. 335—340.
↑ Stephen, N. G., 1980. «Timoshenko’s shear coefficient from a beam subjected to gravity loading», Journal of Applied Mechanics, Vol. 47, No. 1, pp. 121—127.
↑ Hutchinson, J. R., 1981, «Transverse vibration of beams, exact versus approximate solutions», Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, No. 12, pp. 923—928.
↑ Le, Khanh C., 1999, Vibrations of shells and rods, Springer.
↑ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. pages 207.
↑ Kaneko, T., 1975, «On Timoshenko’s correction for shear in vibrating beams», J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 8, pp. 1927—1936.
↑ «Experimental check on the accuracy of Timoshenko’s beam theory», R. A. Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508—512.
↑ «On the Accuracy of the Timoshenko Beam Theory Above the Critical Frequency: Best Shear Coefficient», J. A. Franco-Villafañe and R. A. Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, January 2016, pp. 1-4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.

[Timo1-1] Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.

[Timo2-2] Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.

[3] Timoshenko’s Beam Equations (неопр.). Дата обращения: 5 января 2019. Архивировано 15 октября 2007 года.

[Thomson-4] Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications, second edition. Prentice-Hall, New Jersey.

[Rosinger-5] Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko’s correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461—1466.

[6] «Experimental study of the Timoshenko beam theory predictions», A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, R.A. Méndez-Sánchez, G. Monsivais, and A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Volume 331, Issue 26, 17 December 2012, pp. 5732-5744.

[7] Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik, Julius Springer.

[8] Mindlin, R. D., Deresiewicz, H., 1953, Timoshenko’s Shear Coefficient for Flexural Vibrations of Beams, Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, N.Y.

[9] Cowper, G. R., 1966, «The Shear Coefficient in Timoshenko’s Beam Theory», J. Appl. Mech., Vol. 33, No.2, pp. 335—340.

[10] Stephen, N. G., 1980. «Timoshenko’s shear coefficient from a beam subjected to gravity loading», Journal of Applied Mechanics, Vol. 47, No. 1, pp. 121—127.

[11] Hutchinson, J. R., 1981, «Transverse vibration of beams, exact versus approximate solutions», Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, No. 12, pp. 923—928.

[12] Le, Khanh C., 1999, Vibrations of shells and rods, Springer.

[13] Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. pages 207.

[14] Kaneko, T., 1975, «On Timoshenko’s correction for shear in vibrating beams», J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 8, pp. 1927—1936.

[15] «Experimental check on the accuracy of Timoshenko’s beam theory», R. A. Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508—512.

[16] «On the Accuracy of the Timoshenko Beam Theory Above the Critical Frequency: Best Shear Coefficient», J. A. Franco-Villafañe and R. A. Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, January 2016, pp. 1-4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]