Логика второго порядка

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами и функциональными символами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Язык и синтаксис

Формальные языки логики второго порядка строятся на основе множества функциональных символов ${\mathcal {F}}$ и множества предикатных символов ${\mathcal {P}}$. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность (число аргументов). Также используются дополнительные символы

• Символы индивидуальных переменных, обычно $\ x,y,z,x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2}$ и т. д.
• Символы функциональных переменных $\ F,G,H,F_{1},G_{1},H_{1},F_{2},G_{2},H_{2}$ и т. д. Каждой функциональной переменной соответствует некоторое положительное число — арность функции.
• Символы предикатных переменных $\ P,R,S,P_{1},R_{1},S_{1},P_{2},R_{2},S_{2}$ и т. д. Каждой предикатной переменной соответствует некоторое положительное число — арность предиката.
• Пропозициональные связи: $\lor ,\land ,\neg ,\to$,
• Кванторы общности $\forall$ и существования $\exists$,
• Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами ${\mathcal {P}}$ и ${\mathcal {F}}$ образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.

• Терм — это символ индивидуальной переменной, либо выражение, которое имеет вид $\ f(t_{1},\ldots ,t_{n})$, где $\ f$ — функциональный символ арности $\ n$, а $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ — термы либо выражение вида $\ F(t_{1},\ldots ,t_{n})$, где $\ F$ — функциональная переменная арности $\ n$, а $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ — термы.
• Атом — имеет вид $\ p(t_{1},\ldots ,t_{n})$, где $p$ — предикатный символ арности $\ n$, а $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ — термы или $\ P(t_{1},\ldots ,t_{n})$, где $P$ — предикатная переменная арности $\ n$, а $\ t_{1},\ldots ,t_{n}$ — термы.
• Формула — это или атом, или одна из следующих конструкций: $\neg A,(A_{1}\lor A_{2}),(A_{1}\land A_{2}),(A_{1}\to A_{2}),\forall xA,\exists xA,\forall FA,\exists FA,\forall PA,\exists PA$, где $\ A,A_{1},A_{2}$ — формулы, а $\ x,F,P$ — индивидуальная, функциональная и предикатная переменные. (Конструкции $\forall FA,\exists FA,\forall PA,\exists PA$ являются формулами второго и не первого порядка).

Семантика

В классической логике интерпретация формул логики второго порядка задаётся на модели второго порядка, которая определяется следующими данными.

• Базовое множество ${\mathcal {D}}$,
• Семантическая функция $\sigma$, которая отображает
  • каждый $n$-арный функциональный символ $f$ из ${\mathcal {F}}$ в $n$-арную функцию $\sigma (f):{\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}$,
  • каждый $n$-арный предикатный символ $p$ из ${\mathcal {P}}$ в $n$-арное отношение $\sigma (p)\subseteq {\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}$.

Свойства

В отличие от логики первого порядка, логика второго порядка не имеет свойств полноты и компактности. Также в этой логике является неверным утверждение теоремы Лёвенгейма — Скулема.

Литература

1. Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91.
2. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
3. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0.
4. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag.
5. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.