Теорема о примитивном элементе

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени $E\supseteq F$, такие что существует примитивный элемент $\alpha \in E$ с $E=F[\alpha ]=F(\alpha )$.

Терминология

Пусть $E\supseteq F$ — произвольное расширение поля. Элемент $\alpha \in E$ называется примитивным элементом для расширения $E\supseteq F$, если

$E=F(\alpha ).$

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент $x\in E$ простого расширения можно записать в виде

$x={\frac {f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{k-1}{\alpha }^{k-1}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}$ где $f_{i},g_{i}\in F,\alpha \in E$

Если же, кроме того $E\supseteq F$ сепарабельно и имеет степень n, существует $\alpha \in E$, такое что множество

$\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}$

образует базис E как векторного пространства над F.

Формулировка

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть $E\supseteq F$ — конечное расширение поля. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$ тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида $E\supseteq K\supseteq F$ конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть $E\supseteq F$ — конечное сепарабельное расширение. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$.

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле $\mathbb {Q}$ имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример

Далеко не очевидно, что если добавить в $\mathbb {Q}$ корни многочленов $x^{2}-2$ и $x^{2}-3$, получив поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ степени 4 над $\mathbb {Q}$, то существует элемент $\gamma \in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$, через степени которого выражаются как ${\sqrt {2}}$, так и ${\sqrt {3}}$. Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

$\gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

Степени $\gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ выражаются как сумма ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}}$ и ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}$ с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ (например, ${\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }{2}}$), откуда следует, что $\gamma$ является примитивным элементом.

Примечания

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Доказательство теоремы на mathreference.com
• Доказательство теоремы на сайте Кена Брауна