Теорема Шварца о второй производной

Теорема Шварца о второй производной устанавливает достаточные условия линейности функции. Используется в теории тригонометрических рядов.

Формулировка

Если функция $F(x)$ непрерывна в некотором интервале $(a,b)$ и $\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^{2}}}=0$ при всех значениях $x$ в этом интервале, то $F(x)$ есть линейная функция.

Доказательство

Выражение, стоящее слева в условии теоремы, называется обобщенной второй производной функции $F(x)$. Если $F(x)$ имеет обыкновенную вторую производную, то обобщенная вторая производная равна ей и доказывать нечего. Рассмотрим функцию $\phi (x)=F(x)-F(a)-{\frac {x-a}{b-a}}(F(b)-F(a))$. Очевидно, $\phi (a)=0$ и $\phi (b)=0$. Для доказательства теоремы покажем, что $\phi (x)=0$ при всех значениях $x$. Предположим, что $\phi (x)$ принимает положительные значения. Пусть $\phi (c)>0$ в некоторой точке $c$. Введем функцию $\psi (x)=\phi (x)-{\frac {1}{2}}\epsilon (x-a)(b-x)$, где $\epsilon$ - малое положительное число, такое, что $\psi (x)>0$. Функция $\psi (x)$ имеет положительную верхнюю грань и достигает её, в силу своей непрерывности, в некоторой точке $x=\xi$. Очевидно $\psi (\xi +h)+\psi (\xi -h)-2\psi (\xi )\leqslant 0$. Но ${\frac {\psi (\xi +h)+\psi (\xi -h)-2\psi (\xi )}{h^{2}}}={\frac {F(\xi +h)+F(\xi -h)-2F(\xi )}{h^{2}}}+\epsilon$ и при $h\rightarrow 0$ правая часть стремится к $\epsilon$. Получено противоречие. К подобному же противоречию приводит предположение, что $\phi (x)$ принимает отрицательные значения. Следовательно, $\phi (x)=0$ при всех значениях $x$ и $F(x)$ есть линейная функция.

Литература

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980.