Теорема Харди — Рамануджана

В математике теорема Харди — Рамануджана утверждает, что скорость роста числа $\omega (n)$ различных простых делителей числа $n$ определяется функцией повторного логарифма — $\log(\log(n))$, а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема

Пусть действительная функция $f(n)$ такова, что $\lim _{n\to \infty }f(n)=\infty$, и пусть $g(x)$ — число натуральных чисел $n<x$, для которых выполнено следующее неравенство

$|\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))}}$

или более традиционно

$|\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$ , где $\varepsilon >0$

Тогда

$\lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1$

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа $n$.

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными $\log(\log(n))$. Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.