Теорема Фихтенгольца

Теорема Фихтенгольца — теорема об абсолютной непрерывности суперпозиции двух функций действительного переменного.

Формулировка

Если функция $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $F(y)$ абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения $f(x)$, то для того, чтобы суперпозиция $F[f(x)]$ была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией.

Функция с ограниченной вариацией

Пусть функция $f(x)$ определена и конечна на отрезке $[a,b]$. Разобъём отрезок на части точками $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b$. Составим для данного разбиения сумму $V=\sum _{k=0}^{n-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|$. Если точная верхняя грань множества таких сумм по всем возможным разбиениям конечна, то её называют полной вариацией функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ и обозначают так: $\bigvee _{a}^{b}(f)=sup\sum _{k=0}^{n-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|$, а функцию $f(x)$ называют функций с ограниченной вариацией на этом отрезке.

Литература

• Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. М. Элементы теории функций. — М.: Физматлит, 1963. — 244 с.