Теорема Тевенена

Теоре́ма Тевене́на (теорема Тевенина, теорема Тевенена — Гельмгольца^[1]) — утверждение о том, что любой источник может быть эквивалентно заменён на последовательно соединённые идеальный источник напряжения и внутреннее сопротивление; является двойственным утверждением к теореме Нортона об эквивалентной замене произвольной цепи на параллельно соединённые идеальный источник тока и внутреннее сопротивление.

Впервые сформулирована Германом фон Гельмгольцем в 1853 году^[2] и независимо от него Леоном Шарлем Тевененом в 1883 году^[3]^[4].

Формулировка

Для нелинейных электрических цепей теорема утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из произвольной комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), электрически для этих двух выводов эквивалентна цепи с одним идеальным источником напряжения с ЭДС $V$ и одним резистором $R$ , соединёнными последовательно с этим источником напряжения.

Иначе говоря, ток в любом сопротивлении $Z_{n}$ , присоединенном к одной из выбранных цепей, равен току в этом же сопротивлении $Z_{n}$ , присоединённом к идеальному источнику напряжения с напряжением, равным напряжению холостого хода цепи (напряжению на этих зажимах когда к ним ничего не подключено) и обладающим внутренним сопротивлением $Z_{i}$ , равным полному сопротивлению внешней цепи, определённому со стороны зажимов $Z_{n}$ при условии, что все источники внутри цепи заменены полными сопротивлениями, равными внутренним полным сопротивлениям этих источников.

То есть, экспериментально, параметры эквивалентной замены «чёрного ящика» с двумя выводами определяются из двух измерений — опыта холостого хода и опыта короткого замыкания. Пусть напряжение на зажимах (выводах) при холостом ходе будет $V,$ а ток при коротком замыкании этих же зажимов $I,$ тогда:

V_{th}=V

и

R_{th}=V/I

где

V_{th}

— ЭДС идеального источника напряжения в эквивалентной замене,

R_{th}

— сопротивление последовательно включенного с источником резистора в эквивалентной замене.

Если известна структура и параметры некоторой цепи, то формально можно вычислить параметры эквивалентной замены. При этом анализе при вычислении эквивалентного сопротивления все идеальные источники напряжения, входящие в цепь, мысленно закорачиваются, и вычисляется сопротивление полученной цепи относительно рассматриваемых зажимов. Далее пользуясь, например, правилами Кирхгофа вычисляется напряжение на зажимах. Полученные сопротивление и напряжение как раз и будут параметрами эквивалентной замены.

Теорема также применима для цепей синусоидального переменного тока в установившемся режиме, но при этом учитываются не активные сопротивления, токи и напряжения, а соответственно импедансы и комплексные амплитуды токов и напряжений.

Вычисление параметров эквивалентного источника

1. ЭДС эквивалентного источника вычисляется в режиме холостого хода, то есть находится напряжение между точками А и В в отсутствие подключённой нагрузки.

2. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника можно определить двумя способами.

2.1. Все источники ЭДС в цепи заменяются закороткой, все источники тока — разрывом цепи. Находится сопротивление цепи относительно точек А и В. Это сопротивление будет равно внутреннему сопротивлению эквивалентного источника.

2.2. Точки А и В закорачиваются и находится ток короткого замыкания. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника вычисляется как отношение ЭДС, найденного в п. 1 к току короткого замыкания.

Пример вычисления параметров эквивалентной замены

Исходная электрическая цепь
Вычисление эквивалентной ЭДС
Вычисление сопротивления эквивалентного резистора — источник напряжения мысленно закорочен
Результат эквивалентной замены

Вычисление эквивалентного напряжения (ЭДС) — напряжение, снимаемое с резистивного делителя напряжения состоящего из сопротивлений $R_{4},R_{3},R_{2}$ , так как рассчитывается режим холостого хода, ток через резистор $R_{1}=0$ и падение напряжения на нём нулевое:

V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }=

={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega  \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} =

={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} .

Вычисление эквивалентного сопротивления, источник напряжения закорочен:

R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]=

=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]=

=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .

Здесь символом $\|$ обозначено сопротивление параллельного соединения резисторов $R_{4}$ и $R_{2}+R_{3}.$

См. также

Примечания

↑ В русскоязычной литературе иногда встречается некорректная транскрипция фамилии — «Тевенин»
↑ H. Helmholtz, Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche Архивная копия от 3 августа 2009 на Wayback Machine, Ann. der Physik und Chemie, Bd. 89, no. 6, 1853, S. 211—233
↑ L. Thévenin, Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.
↑ D.H. Johnson, Equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent Архивная копия от 13 августа 2017 на Wayback Machine, Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, 2003, pp. 636—640.

Литература

Пейдж Ч. Алгебра электроники. — М.: Госэнерго, 1962. — 351 с.

[1] В русскоязычной литературе иногда встречается некорректная транскрипция фамилии — «Тевенин»

[2] H. Helmholtz, Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche Архивная копия от 3 августа 2009 на Wayback Machine, Ann. der Physik und Chemie, Bd. 89, no. 6, 1853, S. 211—233

[3] L. Thévenin, Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.

[4] D.H. Johnson, Equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent Архивная копия от 13 августа 2017 на Wayback Machine, Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, 2003, pp. 636—640.

[1]

[2]

[3]

[4]