Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.
Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где p n {\displaystyle p_{n}} — вероятность «успеха», μ n {\displaystyle \mu _{n}} — количество «успехов».
Тогда если
Используя формулу Бернулли, при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } запишем, что
Обратим внимание, что lim n → ∞ n p n = λ ⟺ p n = λ n + o ( λ n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\iff \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}} , где o ( λ n ) {\displaystyle o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}} — такая функция, что lim n → ∞ o ( λ n ) λ n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.}
Но так как
то полученное равенство превращается в
Q.E.D.