Теорема Пенлеве
Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году[1][2]
Формулировка
правитьУравнения первого порядка , алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть — многочлен относительно и и аналитическая функция от ), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.
Пояснения
правитьОсобой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного[3]. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу [4]. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки[4]. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой [5].
Доказательство
правитьДоказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге [6].
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Painleve P., Sur les lignes singulieres des fonctions analytiques (These), Paris, 1887
- ↑ Ann. de la Fac. des Sc. de Toulouse, 1888
- ↑ Методы теории функций комплексного переменного, 1958, с. 91.
- ↑ 1 2 Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 1941, с. 37.
- ↑ Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 1941, с. 41.
- ↑ Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 1941, с. 72—74.
Литература
править- Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматлит, 1958. — 678 с.