Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля[фр.][1]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки , и , лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.
Теорема Микеля для различных треугольников

Формулировка

править

Пусть   — треугольник с произвольными точками  ,   и   соответственно на сторонах  ,   и   (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников  ,  , и   Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке  , называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла   (отмечены на рисунке).[2][3]

Частный случай

править

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

править

Примечания

править
  1. Ostermann, Wanner, 2012, p. 94.
  2. Miquel, Auguste (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485—487, Архивировано из оригинала 13 февраля 2013, Дата обращения: 30 декабря 2015
  3. Wells, 1991, p. 184 — Wells refers to Miquel’s theorem as the pivot theorem

Литература

править