Теорема Лебега о разложении меры

Вводные определения

Пусть $F$ — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева и такая, что $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$. Введём на полукольце всех промежутков вида $[a,\;b)$ меру $m$ по следующему правилу: $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$. Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами $a,\;b$ будут заданы следующим образом.

$m[a,\;b)=F(b)-F(a)$,

$m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)$,

$m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)$,

$m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)$,

Здесь $F(a+0)$ - правосторонний предел функции $F(x)$ в точке $a$ (он существует, поскольку функция $F(x)$ неубывающая).

Мера $m$ может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится $\mu _{F}$ — мера Стилтьеса.

Частные случаи производящей функции $F$:

• $F$ — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество $A$ — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на $[a,\;b]$, на $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$.

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ — абсолютно непрерывная мера.

• $F$ — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение $F$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду $const$). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.