Теорема Лебега о разложении меры

Вводные определения

Пусть  — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева [1] и такая, что . Введём на полукольце всех промежутков вида меру по следующему правилу: . Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами будут заданы следующим образом.

,
,
,
,

Здесь - правосторонний предел функции в точке (он существует, поскольку функция неубывающая).

Мера может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится  — мера Стилтьеса.

Частные случаи производящей функции :

  •  — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество  — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

 — дискретная мера.

  • Функция F непрерывна, монотонно не убывает на , на .

 — абсолютно непрерывная мера.

  •  — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ). Мера сосредоточена в точках роста функции.
Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.

Примечания

править
  1. Турилова Е. А., Кареев И. А. Элементы теории меры и интеграл Лебега. – Казань: Казанский Федеральный Университет, 2016. – с. 29.