Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$. Предположим, что $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ и $f$ — измеримые функции на $A\subseteq X$, причём $f_{n}(x)\to f(x)$ почти всюду на $A$. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на $A$ функция $g$ такая, что любая функция $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ почти всюду, то функции $f_{n},f$ интегрируемы и

$\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx).$

Доказательство

Основной источник:

Пусть задано положительное $\varepsilon .$ В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега найдётся такое положительное $\delta$, что интеграл по любому множеству $B\subseteq A$, меры меньше $\delta$, меньше $\textstyle {\frac {\varepsilon }{4}}.$

В то же время любое множество $B$ удовлетворяет теореме Егорова, так что его можно выбрать таким образом, чтобы на дополнении $C=A\setminus B$ сходимость была равномерной. Из определения равномерной сходимости следует, что найдётся номер $N$, после которого для всех номеров $n$, не меньших $N$, для любого $x$ из $C$ функция $f_{n}(x)$ по модулю отличается от $f(x)$ меньше, чем на $\textstyle {\frac {\varepsilon }{2\mu C}}.$

Также, $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ почти всюду на множестве $A$, а значит, и на его подмножестве $B.$ Следовательно, интеграл от $|f_{n}(x)|$ по множеству $B$ не превосходит интеграл от $g(x)$ по этому же множеству. То же верно и для $|f(x)|$, которая не превосходит $g(x)$ почти всюду как предел ${\big \{}|f_{n}(x)|{\big \}}$ и, таким образом, интегрируема.

В совокупности из этих трёх условий при $n\geqslant N$ следует неравенство:

$\left|\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)\right|=$ $\left|\int \limits _{C}f_{n}(x)-f(x)\,\mu (dx)+\int \limits _{B}f_{n}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant$ $\left|\int \limits _{C}f_{n}(x)-f(x)\,\mu (dx)\right|+\left|\int \limits _{B}f_{n}(x)\,\mu (dx)\right|+\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant$ $\int \limits _{C}|f_{n}(x)-f(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B}|f_{n}(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B}|f(x)|\,\mu (dx)<$ $\int \limits _{C}{\frac {\varepsilon }{2\mu C}}+2\int \limits _{B}g(x)\,\mu (dx)<$ $\mu C\cdot {\frac {\varepsilon }{2\mu C}}+2\cdot {\frac {\varepsilon }{4}}=\varepsilon .$

Значит, для любого положительного $\varepsilon$ существует номер $N$, после которого для всех номеров $n$, разность интегралов по множеству $A$ от функций $f_{n}(x)$ и $f(x)$ по модулю меньше $\varepsilon$, то есть предел интеграла от $f_{n}(x)$ равен $f(x)$ по определению.

Замечание

Условие мажорированности последовательности $\{f_{n}\}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)$, где ${\mathcal {B}}$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $[0,\;1]$, а $m$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим функцию $f_{n}(x)$ равной $n$ при ${\textstyle 0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}}$ или нулю в противном случае.

$f_{n}(x)={\begin{cases}n,&0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}};\\0,&{\dfrac {1}{n}}\leqslant x\leqslant 1.\end{cases}}$

Тогда последовательность $\{f_{n}\}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).$

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: $X_{n}\to X$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$, такая что $\forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ почти наверное. Тогда случайные величины $X_{n},\;X$ интегрируемы и

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X$.

Вариации и обобщения

• Теорема Фату — Лебега

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — М.: Наука, 1976. — С. 302—303.